Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100356 / 100356
↖ ↑ ↗
← S 68.660553°
E 95.635986°		 ← 111.14 m → S 68.660553°
E 95.638733°		 →
↑
111.11 m
↓
↑
111.11 m
↓
S 68.661552°
E 95.635986°		 ← 111.14 m →
12 349 m²		 S 68.661552°
E 95.638733°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100356 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100356 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765659332275391 y=0.765659332275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765659332275391 × 217)
    floor (0.765659332275391 × 131072)
    floor (100356.5)     		tx = 100356
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.765659332275391 × 217)
    floor (0.765659332275391 × 131072)
    floor (100356.5)     		ty = 100356
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100356 / 100356 ti = "17/100356/100356"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100356/100356.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100356 ÷ 217
    100356 ÷ 131072     		x = 0.765655517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100356 ÷ 217
    100356 ÷ 131072     		y = 0.765655517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765655517578125 × 2 - 1) × π
    0.53131103515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.66916284
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.765655517578125 × 2 - 1) × π
    -0.53131103515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.66916284477036
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66916284} λ = 1.66916284}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66916284477036))-π/2
    2×atan(0.188404723637113)-π/2
    2×0.186221803744873-π/2
    0.372443607489746-1.57079632675     		φ = -1.19835272
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66916284} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.635986°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19835272 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.660553°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100356 KachelY 100356 1.66916284 -1.19835272 95.635986 -68.660553
    Oben rechts KachelX + 1 100357 KachelY 100356 1.66921078 -1.19835272 95.638733 -68.660553
    Unten links KachelX 100356 KachelY + 1 100357 1.66916284 -1.19837016 95.635986 -68.661552
    Unten rechts KachelX + 1 100357 KachelY + 1 100357 1.66921078 -1.19837016 95.638733 -68.661552
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19835272--1.19837016) × R
    1.74400000001462e-05 × 6371000     		dl = 111.110240000932m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19835272--1.19837016) × R
    1.74400000001462e-05 × 6371000     		dr = 111.110240000932m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66916284-1.66921078) × cos(-1.19835272) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.363892591493384 × 6371000     		do = 111.142164037312m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66916284-1.66921078) × cos(-1.19837016) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.363876347108453 × 6371000     		du = 111.137202584023m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19835272)-sin(-1.19837016))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.363892591493384-0.363876347108453)×R²
    abs(1.66921078-1.66916284)×1.62443849313632e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.62443849313632e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.62443849313632e-05×40589641000000     		ar = 12348.7568866062m²