Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1015 / 1015
↖ ↑ ↗
← N  1.581830°
W  1.582031°		 ← 19.539 km → N  1.581830°
W  1.406250°		 →
↑
19.539 km
↓
↑
19.539 km
↓
N  1.406109°
W  1.582031°		 ← 19.540 km →
381.786 km²		 N  1.406109°
W  1.406250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1015 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1015 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495849609375 y=0.495849609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495849609375 × 211)
    floor (0.495849609375 × 2048)
    floor (1015.5)     		tx = 1015
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.495849609375 × 211)
    floor (0.495849609375 × 2048)
    floor (1015.5)     		ty = 1015
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1015 / 1015 ti = "11/1015/1015"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1015/1015.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1015 ÷ 211
    1015 ÷ 2048     		x = 0.49560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1015 ÷ 211
    1015 ÷ 2048     		y = 0.49560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49560546875 × 2 - 1) × π
    -0.0087890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.02761165
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.49560546875 × 2 - 1) × π
    0.0087890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0276116541811523
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02761165} λ = -0.02761165}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0276116541811523))-π/2
    2×atan(1.02799638879467)-π/2
    2×0.799202236553956-π/2
    1.59840447310791-1.57079632675     		φ = 0.02760815
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02761165} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.582031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.02760815 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 1.581830°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1015 KachelY 1015 -0.02761165 0.02760815 -1.582031 1.581830
    Oben rechts KachelX + 1 1016 KachelY 1015 -0.02454369 0.02760815 -1.406250 1.581830
    Unten links KachelX 1015 KachelY + 1 1016 -0.02761165 0.02454123 -1.582031 1.406109
    Unten rechts KachelX + 1 1016 KachelY + 1 1016 -0.02454369 0.02454123 -1.406250 1.406109
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.02760815-0.02454123) × R
    0.00306692 × 6371000     		dl = 19539.34732m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.02760815-0.02454123) × R
    0.00306692 × 6371000     		dr = 19539.34732m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02761165--0.02454369) × cos(0.02760815) × R
    0.00306796 × 0.999618919233007 × 6371000     		do = 19538.5245655566m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02761165--0.02454369) × cos(0.02454123) × R
    0.00306796 × 0.999698879128554 × 6371000     		du = 19540.0874595288m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.02760815)-sin(0.02454123))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999618919233007-0.999698879128554)×R²
    abs(-0.02454369--0.02761165)×7.99598955465441e-05×R²
    0.00306796×7.99598955465441e-05×6371000²
    0.00306796×7.99598955465441e-05×40589641000000     		ar = 381785585.827097m²