Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10240 / 10240
↖ ↑ ↗
← S 40.979898°
E 45.000000°		 ← 1 844.53 m → S 40.979898°
E 45.021973°		 →
↑
1 844.28 m
↓
↑
1 844.28 m
↓
S 40.996484°
E 45.000000°		 ← 1 844.06 m →
3 401 393 m²		 S 40.996484°
E 45.021973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10240 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10240 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625030517578125 y=0.625030517578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625030517578125 × 214)
    floor (0.625030517578125 × 16384)
    floor (10240.5)     		tx = 10240
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.625030517578125 × 214)
    floor (0.625030517578125 × 16384)
    floor (10240.5)     		ty = 10240
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10240 / 10240 ti = "14/10240/10240"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10240/10240.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10240 ÷ 214
    10240 ÷ 16384     		x = 0.625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10240 ÷ 214
    10240 ÷ 16384     		y = 0.625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625 × 2 - 1) × π
    0.25 × 3.1415926535     		Λ = 0.78539816
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.625 × 2 - 1) × π
    -0.25 × 3.1415926535     		Φ = -0.785398163375
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78539816} λ = 0.78539816}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.785398163375))-π/2
    2×atan(0.455938127776231)-π/2
    2×0.427781089182652-π/2
    0.855562178365304-1.57079632675     		φ = -0.71523415
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78539816} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.000000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71523415 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.979898°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10240 KachelY 10240 0.78539816 -0.71523415 45.000000 -40.979898
    Oben rechts KachelX + 1 10241 KachelY 10240 0.78578166 -0.71523415 45.021973 -40.979898
    Unten links KachelX 10240 KachelY + 1 10241 0.78539816 -0.71552363 45.000000 -40.996484
    Unten rechts KachelX + 1 10241 KachelY + 1 10241 0.78578166 -0.71552363 45.021973 -40.996484
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71523415--0.71552363) × R
    0.000289479999999953 × 6371000     		dl = 1844.2770799997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71523415--0.71552363) × R
    0.000289479999999953 × 6371000     		dr = 1844.2770799997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78539816-0.78578166) × cos(-0.71523415) × R
    0.000383500000000092 × 0.754939707695381 × 6371000     		do = 1844.52795660885m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78539816-0.78578166) × cos(-0.71552363) × R
    0.000383500000000092 × 0.754749836760443 × 6371000     		du = 1844.06404903574m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71523415)-sin(-0.71552363))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.754939707695381-0.754749836760443)×R²
    abs(0.78578166-0.78539816)×0.00018987093493783×R²
    0.000383500000000092×0.00018987093493783×6371000²
    0.000383500000000092×0.00018987093493783×40589641000000     		ar = 3401392.87049294m²