Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102408 / 102408
↖ ↑ ↗
← S 70.619907°
E101.271972°		 ← 101.35 m → S 70.619907°
E101.274719°		 →
↑
101.36 m
↓
↑
101.36 m
↓
S 70.620818°
E101.271972°		 ← 101.35 m →
10 273 m²		 S 70.620818°
E101.274719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102408 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102408 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.781314849853516 y=0.781314849853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.781314849853516 × 217)
    floor (0.781314849853516 × 131072)
    floor (102408.5)     		tx = 102408
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781314849853516 × 217)
    floor (0.781314849853516 × 131072)
    floor (102408.5)     		ty = 102408
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102408 / 102408 ti = "17/102408/102408"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102408/102408.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102408 ÷ 217
    102408 ÷ 131072     		x = 0.78131103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102408 ÷ 217
    102408 ÷ 131072     		y = 0.78131103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78131103515625 × 2 - 1) × π
    0.5626220703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.76752936
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78131103515625 × 2 - 1) × π
    -0.5626220703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.76752936279071
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76752936} λ = 1.76752936}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76752936279071))-π/2
    2×atan(0.170754340134353)-π/2
    2×0.169123217690968-π/2
    0.338246435381935-1.57079632675     		φ = -1.23254989
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76752936} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.271972°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23254989 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.619907°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102408 KachelY 102408 1.76752936 -1.23254989 101.271972 -70.619907
    Oben rechts KachelX + 1 102409 KachelY 102408 1.76757730 -1.23254989 101.274719 -70.619907
    Unten links KachelX 102408 KachelY + 1 102409 1.76752936 -1.23256580 101.271972 -70.620818
    Unten rechts KachelX + 1 102409 KachelY + 1 102409 1.76757730 -1.23256580 101.274719 -70.620818
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23254989--1.23256580) × R
    1.59099999998968e-05 × 6371000     		dl = 101.362609999343m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23254989--1.23256580) × R
    1.59099999998968e-05 × 6371000     		dr = 101.362609999343m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76752936-1.76757730) × cos(-1.23254989) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.331833400361564 × 6371000     		do = 101.35046186208m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76752936-1.76757730) × cos(-1.23256580) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.331818391811884 × 6371000     		du = 101.345877864688m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23254989)-sin(-1.23256580))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.331833400361564-0.331818391811884)×R²
    abs(1.76757730-1.76752936)×1.50085496800068e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.50085496800068e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.50085496800068e-05×40589641000000     		ar = 10272.9150162438m²