Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 10257 / 10255
↖ ↑ ↗
← S 41.228249°
E 45.373535°		 ← 1 837.57 m → S 41.228249°
E 45.395508°		 →
↑
1 837.33 m
↓
↑
1 837.33 m
↓
S 41.244773°
E 45.373535°		 ← 1 837.10 m →
3 375 792 m²		 S 41.244773°
E 45.395508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10257 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10255 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.626068115234375 y=0.625946044921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.626068115234375 × 214)
    floor (0.626068115234375 × 16384)
    floor (10257.5)     		tx = 10257
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.625946044921875 × 214)
    floor (0.625946044921875 × 16384)
    floor (10255.5)     		ty = 10255
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10257 / 10255 ti = "14/10257/10255"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10257/10255.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10257 ÷ 214
    10257 ÷ 16384     		x = 0.62603759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10255 ÷ 214
    10255 ÷ 16384     		y = 0.62591552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62603759765625 × 2 - 1) × π
    0.2520751953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.79191758
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62591552734375 × 2 - 1) × π
    -0.2518310546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.791150591329407
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79191758} λ = 0.79191758}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.791150591329407))-π/2
    2×atan(0.453322905694401)-π/2
    2×0.425613818332405-π/2
    0.85122763666481-1.57079632675     		φ = -0.71956869
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79191758} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.373535°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71956869 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.228249°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10257 KachelY 10255 0.79191758 -0.71956869 45.373535 -41.228249
    Oben rechts KachelX + 1 10258 KachelY 10255 0.79230108 -0.71956869 45.395508 -41.228249
    Unten links KachelX 10257 KachelY + 1 10256 0.79191758 -0.71985708 45.373535 -41.244773
    Unten rechts KachelX + 1 10258 KachelY + 1 10256 0.79230108 -0.71985708 45.395508 -41.244773
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71956869--0.71985708) × R
    0.000288390000000027 × 6371000     		dl = 1837.33269000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71956869--0.71985708) × R
    0.000288390000000027 × 6371000     		dr = 1837.33269000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79191758-0.79230108) × cos(-0.71956869) × R
    0.000383499999999981 × 0.752090058406369 × 6371000     		do = 1837.56546976794m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79191758-0.79230108) × cos(-0.71985708) × R
    0.000383499999999981 × 0.751899960719653 × 6371000     		du = 1837.10100817708m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71956869)-sin(-0.71985708))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.752090058406369-0.751899960719653)×R²
    abs(0.79230108-0.79191758)×0.000190097686716517×R²
    0.000383499999999981×0.000190097686716517×6371000²
    0.000383499999999981×0.000190097686716517×40589641000000     		ar = 3375792.44578398m²