Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10306 / 10306
↖ ↑ ↗
← S 42.065607°
E 46.450196°		 ← 1 813.79 m → S 42.065607°
E 46.472168°		 →
↑
1 813.57 m
↓
↑
1 813.57 m
↓
S 42.081917°
E 46.450196°		 ← 1 813.32 m →
3 289 009 m²		 S 42.081917°
E 46.472168°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10306 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10306 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629058837890625 y=0.629058837890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629058837890625 × 214)
    floor (0.629058837890625 × 16384)
    floor (10306.5)     		tx = 10306
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629058837890625 × 214)
    floor (0.629058837890625 × 16384)
    floor (10306.5)     		ty = 10306
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10306 / 10306 ti = "14/10306/10306"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10306/10306.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10306 ÷ 214
    10306 ÷ 16384     		x = 0.6290283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10306 ÷ 214
    10306 ÷ 16384     		y = 0.6290283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6290283203125 × 2 - 1) × π
    0.258056640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.81070885
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6290283203125 × 2 - 1) × π
    -0.258056640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.81070884637439
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81070885} λ = 0.81070885}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.81070884637439))-π/2
    2×atan(0.444542841931578)-π/2
    2×0.418306493552318-π/2
    0.836612987104637-1.57079632675     		φ = -0.73418334
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81070885} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.450196°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73418334 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.065607°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10306 KachelY 10306 0.81070885 -0.73418334 46.450196 -42.065607
    Oben rechts KachelX + 1 10307 KachelY 10306 0.81109234 -0.73418334 46.472168 -42.065607
    Unten links KachelX 10306 KachelY + 1 10307 0.81070885 -0.73446800 46.450196 -42.081917
    Unten rechts KachelX + 1 10307 KachelY + 1 10307 0.81109234 -0.73446800 46.472168 -42.081917
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73418334--0.73446800) × R
    0.000284660000000048 × 6371000     		dl = 1813.5688600003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73418334--0.73446800) × R
    0.000284660000000048 × 6371000     		dr = 1813.5688600003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81070885-0.81109234) × cos(-0.73418334) × R
    0.000383489999999931 × 0.742378147672081 × 6371000     		do = 1813.7892701649m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81070885-0.81109234) × cos(-0.73446800) × R
    0.000383489999999931 × 0.742187400774348 × 6371000     		du = 1813.32323452322m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73418334)-sin(-0.73446800))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.742378147672081-0.742187400774348)×R²
    abs(0.81109234-0.81070885)×0.000190746897732574×R²
    0.000383489999999931×0.000190746897732574×6371000²
    0.000383489999999931×0.000190746897732574×40589641000000     		ar = 3289009.16731958m²