Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1034 / 1035
↖ ↑ ↗
← S  1.933227°
E  1.757813°		 ← 19.535 km → S  1.933227°
E  1.933594°		 →
↑
19.534 km
↓
↑
19.534 km
↓
S  2.108899°
E  1.757813°		 ← 19.533 km →
381.571 km²		 S  2.108899°
E  1.933594°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1034 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1035 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.505126953125 y=0.505615234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.505126953125 × 211)
    floor (0.505126953125 × 2048)
    floor (1034.5)     		tx = 1034
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.505615234375 × 211)
    floor (0.505615234375 × 2048)
    floor (1035.5)     		ty = 1035
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1034 / 1035 ti = "11/1034/1035"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1034/1035.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1034 ÷ 211
    1034 ÷ 2048     		x = 0.5048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1035 ÷ 211
    1035 ÷ 2048     		y = 0.50537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5048828125 × 2 - 1) × π
    0.009765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.03067962
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50537109375 × 2 - 1) × π
    -0.0107421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0337475773325195
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.03067962} λ = 0.03067962}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0337475773325195))-π/2
    2×atan(0.966815519991225)-π/2
    2×0.768527576742977-π/2
    1.53705515348595-1.57079632675     		φ = -0.03374117
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.03067962} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.757813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.03374117 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.933227°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1034 KachelY 1035 0.03067962 -0.03374117 1.757813 -1.933227
    Oben rechts KachelX + 1 1035 KachelY 1035 0.03374758 -0.03374117 1.933594 -1.933227
    Unten links KachelX 1034 KachelY + 1 1036 0.03067962 -0.03680723 1.757813 -2.108899
    Unten rechts KachelX + 1 1035 KachelY + 1 1036 0.03374758 -0.03680723 1.933594 -2.108899
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.03374117--0.03680723) × R
    0.00306606 × 6371000     		dl = 19533.86826m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.03374117--0.03680723) × R
    0.00306606 × 6371000     		dr = 19533.86826m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.03067962-0.03374758) × cos(-0.03374117) × R
    0.00306796 × 0.999430820725887 × 6371000     		do = 19534.8479971849m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.03067962-0.03374758) × cos(-0.03680723) × R
    0.00306796 × 0.999322690381729 × 6371000     		du = 19532.7344843803m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.03374117)-sin(-0.03680723))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999430820725887-0.999322690381729)×R²
    abs(0.03374758-0.03067962)×0.000108130344157464×R²
    0.00306796×0.000108130344157464×6371000²
    0.00306796×0.000108130344157464×40589641000000     		ar = 381570803.635984m²