Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1035 / 1019
↖ ↑ ↗
← N  0.878872°
E  1.933594°		 ← 19.544 km → N  0.878872°
E  2.109375°		 →
↑
19.544 km
↓
↑
19.544 km
↓
N  0.703107°
E  1.933594°		 ← 19.545 km →
381.972 km²		 N  0.703107°
E  2.109375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1035 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1019 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.505615234375 y=0.497802734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.505615234375 × 211)
    floor (0.505615234375 × 2048)
    floor (1035.5)     		tx = 1035
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.497802734375 × 211)
    floor (0.497802734375 × 2048)
    floor (1019.5)     		ty = 1019
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1035 / 1019 ti = "11/1035/1019"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1035/1019.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1035 ÷ 211
    1035 ÷ 2048     		x = 0.50537109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1019 ÷ 211
    1019 ÷ 2048     		y = 0.49755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50537109375 × 2 - 1) × π
    0.0107421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.03374758
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.49755859375 × 2 - 1) × π
    0.0048828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.015339807878418
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.03374758} λ = 0.03374758}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.015339807878418))-π/2
    2×atan(1.01545806664644)-π/2
    2×0.793067766553878-π/2
    1.58613553310776-1.57079632675     		φ = 0.01533921
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.03374758} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.933594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.01533921 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.878872°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1035 KachelY 1019 0.03374758 0.01533921 1.933594 0.878872
    Oben rechts KachelX + 1 1036 KachelY 1019 0.03681554 0.01533921 2.109375 0.878872
    Unten links KachelX 1035 KachelY + 1 1020 0.03374758 0.01227154 1.933594 0.703107
    Unten rechts KachelX + 1 1036 KachelY + 1 1020 0.03681554 0.01227154 2.109375 0.703107
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.01533921-0.01227154) × R
    0.00306767 × 6371000     		dl = 19544.12557m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.01533921-0.01227154) × R
    0.00306767 × 6371000     		dr = 19544.12557m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.03374758-0.03681554) × cos(0.01533921) × R
    0.00306796 × 0.999882356625021 × 6371000     		do = 19543.6737057502m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.03374758-0.03681554) × cos(0.01227154) × R
    0.00306796 × 0.999924705597908 × 6371000     		du = 19544.5014576376m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.01533921)-sin(0.01227154))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999882356625021-0.999924705597908)×R²
    abs(0.03681554-0.03374758)×4.23489728867965e-05×R²
    0.00306796×4.23489728867965e-05×6371000²
    0.00306796×4.23489728867965e-05×40589641000000     		ar = 381972401.396849m²