Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1044 / 1012
↖ ↑ ↗
← N  2.108899°
E  3.515625°		 ← 19.533 km → N  2.108899°
E  3.691406°		 →
↑
19.534 km
↓
↑
19.534 km
↓
N  1.933227°
E  3.515625°		 ← 19.535 km →
381.571 km²		 N  1.933227°
E  3.691406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1044 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1012 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.510009765625 y=0.494384765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.510009765625 × 211)
    floor (0.510009765625 × 2048)
    floor (1044.5)     		tx = 1044
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.494384765625 × 211)
    floor (0.494384765625 × 2048)
    floor (1012.5)     		ty = 1012
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1044 / 1012 ti = "11/1044/1012"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1044/1012.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1044 ÷ 211
    1044 ÷ 2048     		x = 0.509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1012 ÷ 211
    1012 ÷ 2048     		y = 0.494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.509765625 × 2 - 1) × π
    0.01953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.06135923
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.494140625 × 2 - 1) × π
    0.01171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0368155389082031
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06135923} λ = 0.06135923}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0368155389082031))-π/2
    2×atan(1.03750162450371)-π/2
    2×0.803801775994266-π/2
    1.60760355198853-1.57079632675     		φ = 0.03680723
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06135923} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.515625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.03680723 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.108899°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1044 KachelY 1012 0.06135923 0.03680723 3.515625 2.108899
    Oben rechts KachelX + 1 1045 KachelY 1012 0.06442719 0.03680723 3.691406 2.108899
    Unten links KachelX 1044 KachelY + 1 1013 0.06135923 0.03374117 3.515625 1.933227
    Unten rechts KachelX + 1 1045 KachelY + 1 1013 0.06442719 0.03374117 3.691406 1.933227
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.03680723-0.03374117) × R
    0.00306606 × 6371000     		dl = 19533.86826m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.03680723-0.03374117) × R
    0.00306606 × 6371000     		dr = 19533.86826m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06135923-0.06442719) × cos(0.03680723) × R
    0.00306795999999999 × 0.999322690381729 × 6371000     		do = 19532.7344843802m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06135923-0.06442719) × cos(0.03374117) × R
    0.00306795999999999 × 0.999430820725887 × 6371000     		du = 19534.8479971849m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.03680723)-sin(0.03374117))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999322690381729-0.999430820725887)×R²
    abs(0.06442719-0.06135923)×0.000108130344157464×R²
    0.00306795999999999×0.000108130344157464×6371000²
    0.00306795999999999×0.000108130344157464×40589641000000     		ar = 381570803.635984m²