Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1044 / 1052
↖ ↑ ↗
← S  4.915833°
E  3.515625°		 ← 19.474 km → S  4.915833°
E  3.691406°		 →
↑
19.471 km
↓
↑
19.471 km
↓
S  5.090944°
E  3.515625°		 ← 19.469 km →
379.139 km²		 S  5.090944°
E  3.691406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1044 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1052 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.510009765625 y=0.513916015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.510009765625 × 211)
    floor (0.510009765625 × 2048)
    floor (1044.5)     		tx = 1044
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.513916015625 × 211)
    floor (0.513916015625 × 2048)
    floor (1052.5)     		ty = 1052
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1044 / 1052 ti = "11/1044/1052"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1044/1052.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1044 ÷ 211
    1044 ÷ 2048     		x = 0.509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1052 ÷ 211
    1052 ÷ 2048     		y = 0.513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.509765625 × 2 - 1) × π
    0.01953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.06135923
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.513671875 × 2 - 1) × π
    -0.02734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0859029241191406
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06135923} λ = 0.06135923}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0859029241191406))-π/2
    2×atan(0.917683311812137)-π/2
    2×0.742499429468446-π/2
    1.48499885893689-1.57079632675     		φ = -0.08579747
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06135923} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.515625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.08579747 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -4.915833°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1044 KachelY 1052 0.06135923 -0.08579747 3.515625 -4.915833
    Oben rechts KachelX + 1 1045 KachelY 1052 0.06442719 -0.08579747 3.691406 -4.915833
    Unten links KachelX 1044 KachelY + 1 1053 0.06135923 -0.08885374 3.515625 -5.090944
    Unten rechts KachelX + 1 1045 KachelY + 1 1053 0.06442719 -0.08885374 3.691406 -5.090944
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.08579747--0.08885374) × R
    0.00305627 × 6371000     		dl = 19471.49617m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.08579747--0.08885374) × R
    0.00305627 × 6371000     		dr = 19471.49617m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06135923-0.06442719) × cos(-0.08579747) × R
    0.00306795999999999 × 0.996321654323187 × 6371000     		do = 19474.0763141278m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06135923-0.06442719) × cos(-0.08885374) × R
    0.00306795999999999 × 0.996055102878191 × 6371000     		du = 19468.8663067381m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.08579747)-sin(-0.08885374))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.996321654323187-0.996055102878191)×R²
    abs(0.06442719-0.06135923)×0.000266551444995544×R²
    0.00306795999999999×0.000266551444995544×6371000²
    0.00306795999999999×0.000266551444995544×40589641000000     		ar = 379138974.166751m²