Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 10497 / 10495
↖ ↑ ↗
← S 45.073521°
E 50.646973°		 ← 1 725.40 m → S 45.073521°
E 50.668945°		 →
↑
1 725.20 m
↓
↑
1 725.20 m
↓
S 45.089036°
E 50.646973°		 ← 1 724.93 m →
2 976 254 m²		 S 45.089036°
E 50.668945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10497 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10495 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.640716552734375 y=0.640594482421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.640716552734375 × 214)
    floor (0.640716552734375 × 16384)
    floor (10497.5)     		tx = 10497
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640594482421875 × 214)
    floor (0.640594482421875 × 16384)
    floor (10495.5)     		ty = 10495
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10497 / 10495 ti = "14/10497/10495"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10497/10495.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10497 ÷ 214
    10497 ÷ 16384     		x = 0.64068603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10495 ÷ 214
    10495 ÷ 16384     		y = 0.64056396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.64068603515625 × 2 - 1) × π
    0.2813720703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.88395643
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64056396484375 × 2 - 1) × π
    -0.2811279296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.883189438599915
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88395643} λ = 0.88395643}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.883189438599915))-π/2
    2×atan(0.413462094504792)-π/2
    2×0.392057493380064-π/2
    0.784114986760127-1.57079632675     		φ = -0.78668134
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88395643} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.646973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78668134 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.073521°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10497 KachelY 10495 0.88395643 -0.78668134 50.646973 -45.073521
    Oben rechts KachelX + 1 10498 KachelY 10495 0.88433992 -0.78668134 50.668945 -45.073521
    Unten links KachelX 10497 KachelY + 1 10496 0.88395643 -0.78695213 50.646973 -45.089036
    Unten rechts KachelX + 1 10498 KachelY + 1 10496 0.88433992 -0.78695213 50.668945 -45.089036
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78668134--0.78695213) × R
    0.000270789999999965 × 6371000     		dl = 1725.20308999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78668134--0.78695213) × R
    0.000270789999999965 × 6371000     		dr = 1725.20308999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88395643-0.88433992) × cos(-0.78668134) × R
    0.000383489999999931 × 0.706198856417924 × 6371000     		do = 1725.39549068105m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88395643-0.88433992) × cos(-0.78695213) × R
    0.000383489999999931 × 0.706007107541517 × 6371000     		du = 1724.92700699024m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78668134)-sin(-0.78695213))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.706198856417924-0.706007107541517)×R²
    abs(0.88433992-0.88395643)×0.000191748876407605×R²
    0.000383489999999931×0.000191748876407605×6371000²
    0.000383489999999931×0.000191748876407605×40589641000000     		ar = 2976253.53542543m²