Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1055 / 1057
↖ ↑ ↗
← S  5.790897°
E  5.449219°		 ← 19.446 km → S  5.790897°
E  5.625000°		 →
↑
19.443 km
↓
↑
19.443 km
↓
S  5.965753°
E  5.449219°		 ← 19.440 km →
378.037 km²		 S  5.965753°
E  5.625000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1055 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1057 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515380859375 y=0.516357421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515380859375 × 211)
    floor (0.515380859375 × 2048)
    floor (1055.5)     		tx = 1055
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.516357421875 × 211)
    floor (0.516357421875 × 2048)
    floor (1057.5)     		ty = 1057
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1055 / 1057 ti = "11/1055/1057"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1055/1057.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1055 ÷ 211
    1055 ÷ 2048     		x = 0.51513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1057 ÷ 211
    1057 ÷ 2048     		y = 0.51611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51513671875 × 2 - 1) × π
    0.0302734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.09510681
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.51611328125 × 2 - 1) × π
    -0.0322265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.101242731997559
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09510681} λ = 0.09510681}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.101242731997559))-π/2
    2×atan(0.903713646042313)-π/2
    2×0.734863055384957-π/2
    1.46972611076991-1.57079632675     		φ = -0.10107022
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09510681} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.449219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.10107022 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -5.790897°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1055 KachelY 1057 0.09510681 -0.10107022 5.449219 -5.790897
    Oben rechts KachelX + 1 1056 KachelY 1057 0.09817477 -0.10107022 5.625000 -5.790897
    Unten links KachelX 1055 KachelY + 1 1058 0.09510681 -0.10412204 5.449219 -5.965753
    Unten rechts KachelX + 1 1056 KachelY + 1 1058 0.09817477 -0.10412204 5.625000 -5.965753
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.10107022--0.10412204) × R
    0.00305182 × 6371000     		dl = 19443.14522m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.10107022--0.10412204) × R
    0.00305182 × 6371000     		dr = 19443.14522m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09510681-0.09817477) × cos(-0.10107022) × R
    0.00306795999999999 × 0.99489675175493 × 6371000     		do = 19446.225206773m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09510681-0.09817477) × cos(-0.10412204) × R
    0.00306795999999999 × 0.994584195954369 × 6371000     		du = 19440.1159994842m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.10107022)-sin(-0.10412204))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99489675175493-0.994584195954369)×R²
    abs(0.09817477-0.09510681)×0.000312555800560665×R²
    0.00306795999999999×0.000312555800560665×6371000²
    0.00306795999999999×0.000312555800560665×40589641000000     		ar = 378036682.980947m²