Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1057 / 1119
↖ ↑ ↗
← S 16.467695°
E  5.800781°		 ← 18.744 km → S 16.467695°
E  5.976562°		 →
↑
18.736 km
↓
↑
18.736 km
↓
S 16.636192°
E  5.800781°		 ← 18.728 km →
351.039 km²		 S 16.636192°
E  5.976562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1057 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1119 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516357421875 y=0.546630859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516357421875 × 211)
    floor (0.516357421875 × 2048)
    floor (1057.5)     		tx = 1057
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.546630859375 × 211)
    floor (0.546630859375 × 2048)
    floor (1119.5)     		ty = 1119
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1057 / 1119 ti = "11/1057/1119"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1057/1119.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1057 ÷ 211
    1057 ÷ 2048     		x = 0.51611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1119 ÷ 211
    1119 ÷ 2048     		y = 0.54638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51611328125 × 2 - 1) × π
    0.0322265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.10124273
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.54638671875 × 2 - 1) × π
    -0.0927734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.291456349689941
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10124273} λ = 0.10124273}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.291456349689941))-π/2
    2×atan(0.747174627295316)-π/2
    2×0.641690416615932-π/2
    1.28338083323186-1.57079632675     		φ = -0.28741549
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10124273} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.800781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.28741549 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -16.467695°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1057 KachelY 1119 0.10124273 -0.28741549 5.800781 -16.467695
    Oben rechts KachelX + 1 1058 KachelY 1119 0.10431069 -0.28741549 5.976562 -16.467695
    Unten links KachelX 1057 KachelY + 1 1120 0.10124273 -0.29035632 5.800781 -16.636192
    Unten rechts KachelX + 1 1058 KachelY + 1 1120 0.10431069 -0.29035632 5.976562 -16.636192
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.28741549--0.29035632) × R
    0.00294083000000001 × 6371000     		dl = 18736.02793m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.28741549--0.29035632) × R
    0.00294083000000001 × 6371000     		dr = 18736.02793m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10124273-0.10431069) × cos(-0.28741549) × R
    0.00306795999999999 × 0.958979720690072 × 6371000     		do = 18744.1918815924m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10124273-0.10431069) × cos(-0.29035632) × R
    0.00306795999999999 × 0.958141924186794 × 6371000     		du = 18727.8163336258m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.28741549)-sin(-0.29035632))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.958979720690072-0.958141924186794)×R²
    abs(0.10431069-0.10124273)×0.000837796503277199×R²
    0.00306795999999999×0.000837796503277199×6371000²
    0.00306795999999999×0.000837796503277199×40589641000000     		ar = 351038549.252652m²