Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1057 / 993
↖ ↑ ↗
← N  5.441022°
E  5.800781°		 ← 19.458 km → N  5.441022°
E  5.976562°		 →
↑
19.461 km
↓
↑
19.461 km
↓
N  5.266008°
E  5.800781°		 ← 19.463 km →
378.718 km²		 N  5.266008°
E  5.976562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1057 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 993 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516357421875 y=0.485107421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516357421875 × 211)
    floor (0.516357421875 × 2048)
    floor (1057.5)     		tx = 1057
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.485107421875 × 211)
    floor (0.485107421875 × 2048)
    floor (993.5)     		ty = 993
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1057 / 993 ti = "11/1057/993"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1057/993.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1057 ÷ 211
    1057 ÷ 2048     		x = 0.51611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 993 ÷ 211
    993 ÷ 2048     		y = 0.48486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51611328125 × 2 - 1) × π
    0.0322265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.10124273
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.48486328125 × 2 - 1) × π
    0.0302734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.0951068088461914
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10124273} λ = 0.10124273}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0951068088461914))-π/2
    2×atan(1.09977631469237)-π/2
    2×0.832880040333258-π/2
    1.66576008066652-1.57079632675     		φ = 0.09496375
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10124273} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.800781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.09496375 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.441022°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1057 KachelY 993 0.10124273 0.09496375 5.800781 5.441022
    Oben rechts KachelX + 1 1058 KachelY 993 0.10431069 0.09496375 5.976562 5.441022
    Unten links KachelX 1057 KachelY + 1 994 0.10124273 0.09190918 5.800781 5.266008
    Unten rechts KachelX + 1 1058 KachelY + 1 994 0.10431069 0.09190918 5.976562 5.266008
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.09496375-0.09190918) × R
    0.00305457000000001 × 6371000     		dl = 19460.66547m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.09496375-0.09190918) × R
    0.00305457000000001 × 6371000     		dr = 19460.66547m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10124273-0.10431069) × cos(0.09496375) × R
    0.00306795999999999 × 0.995494330673539 × 6371000     		do = 19457.9054682771m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10124273-0.10431069) × cos(0.09190918) × R
    0.00306795999999999 × 0.995779323680174 × 6371000     		du = 19463.4759339356m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.09496375)-sin(0.09190918))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.995494330673539-0.995779323680174)×R²
    abs(0.10431069-0.10124273)×0.000284993006635204×R²
    0.00306795999999999×0.000284993006635204×6371000²
    0.00306795999999999×0.000284993006635204×40589641000000     		ar = 378718286.015443m²