Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1060 / 1060
↖ ↑ ↗
← S  6.315298°
E  6.328125°		 ← 19.427 km → S  6.315298°
E  6.503906°		 →
↑
19.424 km
↓
↑
19.424 km
↓
S  6.489983°
E  6.328125°		 ← 19.421 km →
377.295 km²		 S  6.489983°
E  6.503906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1060 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1060 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517822265625 y=0.517822265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517822265625 × 211)
    floor (0.517822265625 × 2048)
    floor (1060.5)     		tx = 1060
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.517822265625 × 211)
    floor (0.517822265625 × 2048)
    floor (1060.5)     		ty = 1060
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1060 / 1060 ti = "11/1060/1060"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1060/1060.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1060 ÷ 211
    1060 ÷ 2048     		x = 0.517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1060 ÷ 211
    1060 ÷ 2048     		y = 0.517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517578125 × 2 - 1) × π
    0.03515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11044662
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.517578125 × 2 - 1) × π
    -0.03515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.110446616724609
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11044662} λ = 0.11044662}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.110446616724609))-π/2
    2×atan(0.895434130120379)-π/2
    2×0.730286787028895-π/2
    1.46057357405779-1.57079632675     		φ = -0.11022275
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11044662} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.328125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.11022275 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -6.315298°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1060 KachelY 1060 0.11044662 -0.11022275 6.328125 -6.315298
    Oben rechts KachelX + 1 1061 KachelY 1060 0.11351458 -0.11022275 6.503906 -6.315298
    Unten links KachelX 1060 KachelY + 1 1061 0.11044662 -0.11327158 6.328125 -6.489983
    Unten rechts KachelX + 1 1061 KachelY + 1 1061 0.11351458 -0.11327158 6.503906 -6.489983
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.11022275--0.11327158) × R
    0.00304883 × 6371000     		dl = 19424.09593m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.11022275--0.11327158) × R
    0.00304883 × 6371000     		dr = 19424.09593m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11044662-0.11351458) × cos(-0.11022275) × R
    0.00306796000000001 × 0.993931620181548 × 6371000     		do = 19427.3607709439m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11044662-0.11351458) × cos(-0.11327158) × R
    0.00306796000000001 × 0.993591630835469 × 6371000     		du = 19420.7153483108m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.11022275)-sin(-0.11327158))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993931620181548-0.993591630835469)×R²
    abs(0.11351458-0.11044662)×0.00033998934607915×R²
    0.00306796000000001×0.00033998934607915×6371000²
    0.00306796000000001×0.00033998934607915×40589641000000     		ar = 377294670.875838m²