Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106752 / 106752
↖ ↑ ↗
← S 74.211983°
E113.203125°		 ← 83.10 m → S 74.211983°
E113.205871°		 →
↑
83.08 m
↓
↑
83.08 m
↓
S 74.212730°
E113.203125°		 ← 83.10 m →
6 904 m²		 S 74.212730°
E113.205871°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106752 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 106752 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.814456939697266 y=0.814456939697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.814456939697266 × 217)
    floor (0.814456939697266 × 131072)
    floor (106752.5)     		tx = 106752
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.814456939697266 × 217)
    floor (0.814456939697266 × 131072)
    floor (106752.5)     		ty = 106752
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106752 / 106752 ti = "17/106752/106752"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106752/106752.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106752 ÷ 217
    106752 ÷ 131072     		x = 0.814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 106752 ÷ 217
    106752 ÷ 131072     		y = 0.814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.814453125 × 2 - 1) × π
    0.62890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.97576725
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.814453125 × 2 - 1) × π
    -0.62890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.97576725474023
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.97576725} λ = 1.97576725}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.97576725474023))-π/2
    2×atan(0.138654887800925)-π/2
    2×0.137776443737289-π/2
    0.275552887474579-1.57079632675     		φ = -1.29524344
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.97576725} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.203125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.29524344 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -74.211983°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106752 KachelY 106752 1.97576725 -1.29524344 113.203125 -74.211983
    Oben rechts KachelX + 1 106753 KachelY 106752 1.97581519 -1.29524344 113.205871 -74.211983
    Unten links KachelX 106752 KachelY + 1 106753 1.97576725 -1.29525648 113.203125 -74.212730
    Unten rechts KachelX + 1 106753 KachelY + 1 106753 1.97581519 -1.29525648 113.205871 -74.212730
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.29524344--1.29525648) × R
    1.30400000000197e-05 × 6371000     		dl = 83.0778400001255m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.29524344--1.29525648) × R
    1.30400000000197e-05 × 6371000     		dr = 83.0778400001255m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.97576725-1.97581519) × cos(-1.29524344) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.272079007608098 × 6371000     		do = 83.0999322371144m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.97576725-1.97581519) × cos(-1.29525648) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.272066459520064 × 6371000     		du = 83.096099728041m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.29524344)-sin(-1.29525648))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.272079007608098-0.272066459520064)×R²
    abs(1.97581519-1.97576725)×1.25480880343587e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.25480880343587e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.25480880343587e-05×40589641000000     		ar = 6903.60367636901m²