Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1072 / 1073
↖ ↑ ↗
← S  8.581021°
E  8.437500°		 ← 19.327 km → S  8.581021°
E  8.613281°		 →
↑
19.323 km
↓
↑
19.323 km
↓
S  8.754795°
E  8.437500°		 ← 19.318 km →
373.368 km²		 S  8.754795°
E  8.613281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1072 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1073 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523681640625 y=0.524169921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523681640625 × 211)
    floor (0.523681640625 × 2048)
    floor (1072.5)     		tx = 1072
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524169921875 × 211)
    floor (0.524169921875 × 2048)
    floor (1073.5)     		ty = 1073
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1072 / 1073 ti = "11/1072/1073"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1072/1073.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1072 ÷ 211
    1072 ÷ 2048     		x = 0.5234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1073 ÷ 211
    1073 ÷ 2048     		y = 0.52392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5234375 × 2 - 1) × π
    0.046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.14726216
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52392578125 × 2 - 1) × π
    -0.0478515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.150330117208496
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14726216} λ = 0.14726216}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.150330117208496))-π/2
    2×atan(0.860423888804236)-π/2
    2×0.710514626701354-π/2
    1.42102925340271-1.57079632675     		φ = -0.14976707
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14726216} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.437500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14976707 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.581021°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1072 KachelY 1073 0.14726216 -0.14976707 8.437500 -8.581021
    Oben rechts KachelX + 1 1073 KachelY 1073 0.15033012 -0.14976707 8.613281 -8.581021
    Unten links KachelX 1072 KachelY + 1 1074 0.14726216 -0.15279999 8.437500 -8.754795
    Unten rechts KachelX + 1 1073 KachelY + 1 1074 0.15033012 -0.15279999 8.613281 -8.754795
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14976707--0.15279999) × R
    0.00303291999999999 × 6371000     		dl = 19322.73332m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14976707--0.15279999) × R
    0.00303291999999999 × 6371000     		dr = 19322.73332m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14726216-0.15033012) × cos(-0.14976707) × R
    0.00306796000000001 × 0.988805859736353 × 6371000     		do = 19327.1727948575m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14726216-0.15033012) × cos(-0.15279999) × R
    0.00306796000000001 × 0.988348777253828 × 6371000     		du = 19318.2386729222m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14976707)-sin(-0.15279999))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988805859736353-0.988348777253828)×R²
    abs(0.15033012-0.14726216)×0.000457082482524518×R²
    0.00306796000000001×0.000457082482524518×6371000²
    0.00306796000000001×0.000457082482524518×40589641000000     		ar = 373367776.122018m²