Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1084 / 1092
↖ ↑ ↗
← S 11.867351°
E 10.546875°		 ← 19.128 km → S 11.867351°
E 10.722656°		 →
↑
19.122 km
↓
↑
19.122 km
↓
S 12.039320°
E 10.546875°		 ← 19.116 km →
365.657 km²		 S 12.039320°
E 10.722656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1084 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1092 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.529541015625 y=0.533447265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.529541015625 × 211)
    floor (0.529541015625 × 2048)
    floor (1084.5)     		tx = 1084
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.533447265625 × 211)
    floor (0.533447265625 × 2048)
    floor (1092.5)     		ty = 1092
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1084 / 1092 ti = "11/1084/1092"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1084/1092.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1084 ÷ 211
    1084 ÷ 2048     		x = 0.529296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1092 ÷ 211
    1092 ÷ 2048     		y = 0.533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.529296875 × 2 - 1) × π
    0.05859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.18407769
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.533203125 × 2 - 1) × π
    -0.06640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.208621387146484
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.18407769} λ = 0.18407769}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.208621387146484))-π/2
    2×atan(0.811702498472065)-π/2
    2×0.681835989953108-π/2
    1.36367197990622-1.57079632675     		φ = -0.20712435
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.18407769} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.546875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.20712435 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.867351°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1084 KachelY 1092 0.18407769 -0.20712435 10.546875 -11.867351
    Oben rechts KachelX + 1 1085 KachelY 1092 0.18714566 -0.20712435 10.722656 -11.867351
    Unten links KachelX 1084 KachelY + 1 1093 0.18407769 -0.21012578 10.546875 -12.039320
    Unten rechts KachelX + 1 1085 KachelY + 1 1093 0.18714566 -0.21012578 10.722656 -12.039320
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.20712435--0.21012578) × R
    0.00300143 × 6371000     		dl = 19122.11053m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.20712435--0.21012578) × R
    0.00300143 × 6371000     		dr = 19122.11053m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.18407769-0.18714566) × cos(-0.20712435) × R
    0.00306797 × 0.978626327765447 × 6371000     		do = 19128.2662844562m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.18407769-0.18714566) × cos(-0.21012578) × R
    0.00306797 × 0.978004686901493 × 6371000     		du = 19116.1156692094m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.20712435)-sin(-0.21012578))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.978626327765447-0.978004686901493)×R²
    abs(0.18714566-0.18407769)×0.000621640863954442×R²
    0.00306797×0.000621640863954442×6371000²
    0.00306797×0.000621640863954442×40589641000000     		ar = 365656923.939007m²