Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1084 / 1100
↖ ↑ ↗
← S 13.239945°
E 10.546875°		 ← 19.026 km → S 13.239945°
E 10.722656°		 →
↑
19.020 km
↓
↑
19.020 km
↓
S 13.410994°
E 10.546875°		 ← 19.013 km →
361.751 km²		 S 13.410994°
E 10.722656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1084 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1100 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.529541015625 y=0.537353515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.529541015625 × 211)
    floor (0.529541015625 × 2048)
    floor (1084.5)     		tx = 1084
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.537353515625 × 211)
    floor (0.537353515625 × 2048)
    floor (1100.5)     		ty = 1100
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1084 / 1100 ti = "11/1084/1100"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1084/1100.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1084 ÷ 211
    1084 ÷ 2048     		x = 0.529296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1100 ÷ 211
    1100 ÷ 2048     		y = 0.537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.529296875 × 2 - 1) × π
    0.05859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.18407769
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.537109375 × 2 - 1) × π
    -0.07421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.233165079751953
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.18407769} λ = 0.18407769}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.233165079751953))-π/2
    2×atan(0.792022815801911)-π/2
    2×0.669857842527117-π/2
    1.33971568505423-1.57079632675     		φ = -0.23108064
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.18407769} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.546875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.23108064 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -13.239945°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1084 KachelY 1100 0.18407769 -0.23108064 10.546875 -13.239945
    Oben rechts KachelX + 1 1085 KachelY 1100 0.18714566 -0.23108064 10.722656 -13.239945
    Unten links KachelX 1084 KachelY + 1 1101 0.18407769 -0.23406600 10.546875 -13.410994
    Unten rechts KachelX + 1 1085 KachelY + 1 1101 0.18714566 -0.23406600 10.722656 -13.410994
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.23108064--0.23406600) × R
    0.00298535999999999 × 6371000     		dl = 19019.72856m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.23108064--0.23406600) × R
    0.00298535999999999 × 6371000     		dr = 19019.72856m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.18407769-0.18714566) × cos(-0.23108064) × R
    0.00306797 × 0.973419464906907 × 6371000     		do = 19026.4927510461m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.18407769-0.18714566) × cos(-0.23406600) × R
    0.00306797 × 0.972731392460163 × 6371000     		du = 19013.0436616328m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.23108064)-sin(-0.23406600))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.973419464906907-0.972731392460163)×R²
    abs(0.18714566-0.18407769)×0.000688072446744625×R²
    0.00306797×0.000688072446744625×6371000²
    0.00306797×0.000688072446744625×40589641000000     		ar = 361751097.230502m²