Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1086 / 1094
↖ ↑ ↗
← S 12.211180°
E 10.898438°		 ← 19.104 km → S 12.211180°
E 11.074219°		 →
↑
19.098 km
↓
↑
19.098 km
↓
S 12.382928°
E 10.898438°		 ← 19.091 km →
364.715 km²		 S 12.382928°
E 11.074219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1086 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1094 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.530517578125 y=0.534423828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.530517578125 × 211)
    floor (0.530517578125 × 2048)
    floor (1086.5)     		tx = 1086
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.534423828125 × 211)
    floor (0.534423828125 × 2048)
    floor (1094.5)     		ty = 1094
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1086 / 1094 ti = "11/1086/1094"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1086/1094.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1086 ÷ 211
    1086 ÷ 2048     		x = 0.5302734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1094 ÷ 211
    1094 ÷ 2048     		y = 0.5341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5302734375 × 2 - 1) × π
    0.060546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.19021362
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5341796875 × 2 - 1) × π
    -0.068359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.214757310297852
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19021362} λ = 0.19021362}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.214757310297852))-π/2
    2×atan(0.806737203233092)-π/2
    2×0.67883551345242-π/2
    1.35767102690484-1.57079632675     		φ = -0.21312530
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19021362} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.898438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.21312530 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -12.211180°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1086 KachelY 1094 0.19021362 -0.21312530 10.898438 -12.211180
    Oben rechts KachelX + 1 1087 KachelY 1094 0.19328158 -0.21312530 11.074219 -12.211180
    Unten links KachelX 1086 KachelY + 1 1095 0.19021362 -0.21612287 10.898438 -12.382928
    Unten rechts KachelX + 1 1087 KachelY + 1 1095 0.19328158 -0.21612287 11.074219 -12.382928
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.21312530--0.21612287) × R
    0.00299757 × 6371000     		dl = 19097.51847m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.21312530--0.21612287) × R
    0.00299757 × 6371000     		dr = 19097.51847m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19021362-0.19328158) × cos(-0.21312530) × R
    0.00306796000000001 × 0.97737463960511 × 6371000     		do = 19103.7384729862m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19021362-0.19328158) × cos(-0.21612287) × R
    0.00306796000000001 × 0.976736216926441 × 6371000     		du = 19091.2598804442m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.21312530)-sin(-0.21612287))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.97737463960511-0.976736216926441)×R²
    abs(0.19328158-0.19021362)×0.00063842267866876×R²
    0.00306796000000001×0.00063842267866876×6371000²
    0.00306796000000001×0.00063842267866876×40589641000000     		ar = 364715116.35156m²