Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1089 / 1089
↖ ↑ ↗
← S 11.350797°
E 11.425781°		 ← 19.164 km → S 11.350797°
E 11.601562°		 →
↑
19.158 km
↓
↑
19.158 km
↓
S 11.523088°
E 11.425781°		 ← 19.152 km →
367.023 km²		 S 11.523088°
E 11.601562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1089 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1089 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.531982421875 y=0.531982421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.531982421875 × 211)
    floor (0.531982421875 × 2048)
    floor (1089.5)     		tx = 1089
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.531982421875 × 211)
    floor (0.531982421875 × 2048)
    floor (1089.5)     		ty = 1089
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1089 / 1089 ti = "11/1089/1089"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1089/1089.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1089 ÷ 211
    1089 ÷ 2048     		x = 0.53173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1089 ÷ 211
    1089 ÷ 2048     		y = 0.53173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53173828125 × 2 - 1) × π
    0.0634765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.19941750
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.53173828125 × 2 - 1) × π
    -0.0634765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.199417502419434
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19941750} λ = 0.19941750}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.199417502419434))-π/2
    2×atan(0.819207800686835)-π/2
    2×0.686343775635154-π/2
    1.37268755127031-1.57079632675     		φ = -0.19810878
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19941750} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.425781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19810878 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.350797°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1089 KachelY 1089 0.19941750 -0.19810878 11.425781 -11.350797
    Oben rechts KachelX + 1 1090 KachelY 1089 0.20248546 -0.19810878 11.601562 -11.350797
    Unten links KachelX 1089 KachelY + 1 1090 0.19941750 -0.20111582 11.425781 -11.523088
    Unten rechts KachelX + 1 1090 KachelY + 1 1090 0.20248546 -0.20111582 11.601562 -11.523088
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19810878--0.20111582) × R
    0.00300703999999999 × 6371000     		dl = 19157.8518399999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19810878--0.20111582) × R
    0.00300703999999999 × 6371000     		dr = 19157.8518399999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19941750-0.20248546) × cos(-0.19810878) × R
    0.00306796000000001 × 0.980440552321094 × 6371000     		do = 19163.6647206437m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19941750-0.20248546) × cos(-0.20111582) × R
    0.00306796000000001 × 0.979844288556578 × 6371000     		du = 19152.0101651062m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19810878)-sin(-0.20111582))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980440552321094-0.979844288556578)×R²
    abs(0.20248546-0.19941750)×0.000596263764516158×R²
    0.00306796000000001×0.000596263764516158×6371000²
    0.00306796000000001×0.000596263764516158×40589641000000     		ar = 367023287.866348m²