Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1094 / 1086
↖ ↑ ↗
← S 10.833306°
E 12.304687°		 ← 19.198 km → S 10.833306°
E 12.480469°		 →
↑
19.192 km
↓
↑
19.192 km
↓
S 11.005904°
E 12.304687°		 ← 19.186 km →
368.335 km²		 S 11.005904°
E 12.480469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1094 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1086 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.534423828125 y=0.530517578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.534423828125 × 211)
    floor (0.534423828125 × 2048)
    floor (1094.5)     		tx = 1094
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.530517578125 × 211)
    floor (0.530517578125 × 2048)
    floor (1086.5)     		ty = 1086
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1094 / 1086 ti = "11/1094/1086"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1094/1086.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1094 ÷ 211
    1094 ÷ 2048     		x = 0.5341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1086 ÷ 211
    1086 ÷ 2048     		y = 0.5302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5341796875 × 2 - 1) × π
    0.068359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.21475731
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5302734375 × 2 - 1) × π
    -0.060546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.190213617692383
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.21475731} λ = 0.21475731}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.190213617692383))-π/2
    2×atan(0.826782499708245)-π/2
    2×0.690859734254836-π/2
    1.38171946850967-1.57079632675     		φ = -0.18907686
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.21475731} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.304687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18907686 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.833306°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1094 KachelY 1086 0.21475731 -0.18907686 12.304687 -10.833306
    Oben rechts KachelX + 1 1095 KachelY 1086 0.21782527 -0.18907686 12.480469 -10.833306
    Unten links KachelX 1094 KachelY + 1 1087 0.21475731 -0.19208927 12.304687 -11.005904
    Unten rechts KachelX + 1 1095 KachelY + 1 1087 0.21782527 -0.19208927 12.480469 -11.005904
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18907686--0.19208927) × R
    0.00301240999999999 × 6371000     		dl = 19192.06411m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18907686--0.19208927) × R
    0.00301240999999999 × 6371000     		dr = 19192.06411m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.21475731-0.21782527) × cos(-0.18907686) × R
    0.00306795999999998 × 0.982178159866999 × 6371000     		do = 19197.6279510984m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.21475731-0.21782527) × cos(-0.19208927) × R
    0.00306795999999998 × 0.981607514933233 × 6371000     		du = 19186.4741405392m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18907686)-sin(-0.19208927))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.982178159866999-0.981607514933233)×R²
    abs(0.21782527-0.21475731)×0.00057064493376624×R²
    0.00306795999999998×0.00057064493376624×6371000²
    0.00306795999999998×0.00057064493376624×40589641000000     		ar = 368335352.615554m²