Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1095 / 1097
↖ ↑ ↗
← S 12.726084°
E 12.480469°		 ← 19.066 km → S 12.726084°
E 12.656250°		 →
↑
19.059 km
↓
↑
19.059 km
↓
S 12.897489°
E 12.480469°		 ← 19.053 km →
363.259 km²		 S 12.897489°
E 12.656250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1095 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1097 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.534912109375 y=0.535888671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.534912109375 × 211)
    floor (0.534912109375 × 2048)
    floor (1095.5)     		tx = 1095
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.535888671875 × 211)
    floor (0.535888671875 × 2048)
    floor (1097.5)     		ty = 1097
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1095 / 1097 ti = "11/1095/1097"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1095/1097.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1095 ÷ 211
    1095 ÷ 2048     		x = 0.53466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1097 ÷ 211
    1097 ÷ 2048     		y = 0.53564453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53466796875 × 2 - 1) × π
    0.0693359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.21782527
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.53564453125 × 2 - 1) × π
    -0.0712890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.223961195024902
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.21782527} λ = 0.21782527}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.223961195024902))-π/2
    2×atan(0.799346152375072)-π/2
    2×0.674342127466524-π/2
    1.34868425493305-1.57079632675     		φ = -0.22211207
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.21782527} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.480469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.22211207 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -12.726084°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1095 KachelY 1097 0.21782527 -0.22211207 12.480469 -12.726084
    Oben rechts KachelX + 1 1096 KachelY 1097 0.22089323 -0.22211207 12.656250 -12.726084
    Unten links KachelX 1095 KachelY + 1 1098 0.21782527 -0.22510365 12.480469 -12.897489
    Unten rechts KachelX + 1 1096 KachelY + 1 1098 0.22089323 -0.22510365 12.656250 -12.897489
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.22211207--0.22510365) × R
    0.00299157999999999 × 6371000     		dl = 19059.35618m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.22211207--0.22510365) × R
    0.00299157999999999 × 6371000     		dr = 19059.35618m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.21782527-0.22089323) × cos(-0.22211207) × R
    0.00306796000000001 × 0.975434356773038 × 6371000     		do = 19065.8137568277m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.21782527-0.22089323) × cos(-0.22510365) × R
    0.00306796000000001 × 0.974770976858286 × 6371000     		du = 19052.8473508191m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.22211207)-sin(-0.22510365))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.975434356773038-0.974770976858286)×R²
    abs(0.22089323-0.21782527)×0.000663379914751849×R²
    0.00306796000000001×0.000663379914751849×6371000²
    0.00306796000000001×0.000663379914751849×40589641000000     		ar = 363258840.494675m²