Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1096 / 1080
↖ ↑ ↗
← S  9.795678°
E 12.656250°		 ← 19.261 km → S  9.795678°
E 12.832032°		 →
↑
19.256 km
↓
↑
19.256 km
↓
S  9.968851°
E 12.656250°		 ← 19.251 km →
370.793 km²		 S  9.968851°
E 12.832032°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1096 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1080 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.535400390625 y=0.527587890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.535400390625 × 211)
    floor (0.535400390625 × 2048)
    floor (1096.5)     		tx = 1096
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527587890625 × 211)
    floor (0.527587890625 × 2048)
    floor (1080.5)     		ty = 1080
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1096 / 1080 ti = "11/1096/1080"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1096/1080.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1096 ÷ 211
    1096 ÷ 2048     		x = 0.53515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1080 ÷ 211
    1080 ÷ 2048     		y = 0.52734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53515625 × 2 - 1) × π
    0.0703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.22089323
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52734375 × 2 - 1) × π
    -0.0546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.171805848238281
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22089323} λ = 0.22089323}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.171805848238281))-π/2
    2×atan(0.842142660778491)-π/2
    2×0.699914750257779-π/2
    1.39982950051556-1.57079632675     		φ = -0.17096683
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22089323} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.656250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17096683 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.795678°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1096 KachelY 1080 0.22089323 -0.17096683 12.656250 -9.795678
    Oben rechts KachelX + 1 1097 KachelY 1080 0.22396120 -0.17096683 12.832032 -9.795678
    Unten links KachelX 1096 KachelY + 1 1081 0.22089323 -0.17398927 12.656250 -9.968851
    Unten rechts KachelX + 1 1097 KachelY + 1 1081 0.22396120 -0.17398927 12.832032 -9.968851
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17096683--0.17398927) × R
    0.00302244000000002 × 6371000     		dl = 19255.9652400001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17096683--0.17398927) × R
    0.00302244000000002 × 6371000     		dr = 19255.9652400001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22089323-0.22396120) × cos(-0.17096683) × R
    0.00306797 × 0.9854207357218 × 6371000     		do = 19261.0700328809m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22089323-0.22396120) × cos(-0.17398927) × R
    0.00306797 × 0.984902012206852 × 6371000     		du = 19250.9310439323m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17096683)-sin(-0.17398927))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.9854207357218-0.984902012206852)×R²
    abs(0.22396120-0.22089323)×0.000518723514948638×R²
    0.00306797×0.000518723514948638×6371000²
    0.00306797×0.000518723514948638×40589641000000     		ar = 370793159.299749m²