Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1098 / 1098
↖ ↑ ↗
← S 12.897489°
E 13.007813°		 ← 19.053 km → S 12.897489°
E 13.183594°		 →
↑
19.046 km
↓
↑
19.046 km
↓
S 13.068777°
E 13.007813°		 ← 19.040 km →
362.761 km²		 S 13.068777°
E 13.183594°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1098 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1098 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.536376953125 y=0.536376953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.536376953125 × 211)
    floor (0.536376953125 × 2048)
    floor (1098.5)     		tx = 1098
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.536376953125 × 211)
    floor (0.536376953125 × 2048)
    floor (1098.5)     		ty = 1098
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1098 / 1098 ti = "11/1098/1098"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1098/1098.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1098 ÷ 211
    1098 ÷ 2048     		x = 0.5361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1098 ÷ 211
    1098 ÷ 2048     		y = 0.5361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5361328125 × 2 - 1) × π
    0.072265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.22702916
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5361328125 × 2 - 1) × π
    -0.072265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.227029156600586
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22702916} λ = 0.22702916}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.227029156600586))-π/2
    2×atan(0.796897547127923)-π/2
    2×0.672846337652163-π/2
    1.34569267530433-1.57079632675     		φ = -0.22510365
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22702916} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.007813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.22510365 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -12.897489°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1098 KachelY 1098 0.22702916 -0.22510365 13.007813 -12.897489
    Oben rechts KachelX + 1 1099 KachelY 1098 0.23009712 -0.22510365 13.183594 -12.897489
    Unten links KachelX 1098 KachelY + 1 1099 0.22702916 -0.22809318 13.007813 -13.068777
    Unten rechts KachelX + 1 1099 KachelY + 1 1099 0.23009712 -0.22809318 13.183594 -13.068777
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.22510365--0.22809318) × R
    0.00298953000000002 × 6371000     		dl = 19046.2956300001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.22510365--0.22809318) × R
    0.00298953000000002 × 6371000     		dr = 19046.2956300001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22702916-0.23009712) × cos(-0.22510365) × R
    0.00306795999999998 × 0.974770976858286 × 6371000     		do = 19052.8473508189m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22702916-0.23009712) × cos(-0.22809318) × R
    0.00306795999999998 × 0.97409933673665 × 6371000     		du = 19039.7194910282m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.22510365)-sin(-0.22809318))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.974770976858286-0.97409933673665)×R²
    abs(0.23009712-0.22702916)×0.00067164012163623×R²
    0.00306795999999998×0.00067164012163623×6371000²
    0.00306795999999998×0.00067164012163623×40589641000000     		ar = 362761414.863037m²