Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1104 / 1103
↖ ↑ ↗
← S 13.752725°
E 14.062500°		 ← 18.986 km → S 13.752725°
E 14.238281°		 →
↑
18.979 km
↓
↑
18.979 km
↓
S 13.923404°
E 14.062500°		 ← 18.972 km →
360.189 km²		 S 13.923404°
E 14.238281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1104 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1103 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.539306640625 y=0.538818359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.539306640625 × 211)
    floor (0.539306640625 × 2048)
    floor (1104.5)     		tx = 1104
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.538818359375 × 211)
    floor (0.538818359375 × 2048)
    floor (1103.5)     		ty = 1103
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1104 / 1103 ti = "11/1104/1103"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1104/1103.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1104 ÷ 211
    1104 ÷ 2048     		x = 0.5390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1103 ÷ 211
    1103 ÷ 2048     		y = 0.53857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5390625 × 2 - 1) × π
    0.078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.24543693
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.53857421875 × 2 - 1) × π
    -0.0771484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.242368964479004
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24543693} λ = 0.24543693}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.242368964479004))-π/2
    2×atan(0.784766573138446)-π/2
    2×0.665383000143833-π/2
    1.33076600028767-1.57079632675     		φ = -0.24003033
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24543693} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.062500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.24003033 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -13.752725°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1104 KachelY 1103 0.24543693 -0.24003033 14.062500 -13.752725
    Oben rechts KachelX + 1 1105 KachelY 1103 0.24850489 -0.24003033 14.238281 -13.752725
    Unten links KachelX 1104 KachelY + 1 1104 0.24543693 -0.24300924 14.062500 -13.923404
    Unten rechts KachelX + 1 1105 KachelY + 1 1104 0.24850489 -0.24300924 14.238281 -13.923404
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.24003033--0.24300924) × R
    0.00297891 × 6371000     		dl = 18978.63561m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.24003033--0.24300924) × R
    0.00297891 × 6371000     		dr = 18978.63561m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24543693-0.24850489) × cos(-0.24003033) × R
    0.00306796000000001 × 0.9713307648846 × 6371000     		do = 18985.6050599167m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24543693-0.24850489) × cos(-0.24300924) × R
    0.00306796000000001 × 0.970618273695534 × 6371000     		du = 18971.6787262585m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.24003033)-sin(-0.24300924))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.9713307648846-0.970618273695534)×R²
    abs(0.24850489-0.24543693)×0.000712491189066355×R²
    0.00306796000000001×0.000712491189066355×6371000²
    0.00306796000000001×0.000712491189066355×40589641000000     		ar = 360188995.218534m²