Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1112 / 1080
↖ ↑ ↗
← S  9.795678°
E 15.468750°		 ← 19.261 km → S  9.795678°
E 15.644531°		 →
↑
19.256 km
↓
↑
19.256 km
↓
S  9.968851°
E 15.468750°		 ← 19.251 km →
370.792 km²		 S  9.968851°
E 15.644531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1112 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1080 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.543212890625 y=0.527587890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.543212890625 × 211)
    floor (0.543212890625 × 2048)
    floor (1112.5)     		tx = 1112
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527587890625 × 211)
    floor (0.527587890625 × 2048)
    floor (1080.5)     		ty = 1080
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1112 / 1080 ti = "11/1112/1080"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1112/1080.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1112 ÷ 211
    1112 ÷ 2048     		x = 0.54296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1080 ÷ 211
    1080 ÷ 2048     		y = 0.52734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54296875 × 2 - 1) × π
    0.0859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.26998062
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52734375 × 2 - 1) × π
    -0.0546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.171805848238281
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.26998062} λ = 0.26998062}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.171805848238281))-π/2
    2×atan(0.842142660778491)-π/2
    2×0.699914750257779-π/2
    1.39982950051556-1.57079632675     		φ = -0.17096683
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.26998062} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.468750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17096683 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.795678°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1112 KachelY 1080 0.26998062 -0.17096683 15.468750 -9.795678
    Oben rechts KachelX + 1 1113 KachelY 1080 0.27304858 -0.17096683 15.644531 -9.795678
    Unten links KachelX 1112 KachelY + 1 1081 0.26998062 -0.17398927 15.468750 -9.968851
    Unten rechts KachelX + 1 1113 KachelY + 1 1081 0.27304858 -0.17398927 15.644531 -9.968851
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17096683--0.17398927) × R
    0.00302244000000002 × 6371000     		dl = 19255.9652400001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17096683--0.17398927) × R
    0.00302244000000002 × 6371000     		dr = 19255.9652400001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.26998062-0.27304858) × cos(-0.17096683) × R
    0.00306795999999998 × 0.9854207357218 × 6371000     		do = 19261.0072517256m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.26998062-0.27304858) × cos(-0.17398927) × R
    0.00306795999999998 × 0.984902012206852 × 6371000     		du = 19250.868295825m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17096683)-sin(-0.17398927))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.9854207357218-0.984902012206852)×R²
    abs(0.27304858-0.26998062)×0.000518723514948638×R²
    0.00306795999999998×0.000518723514948638×6371000²
    0.00306795999999998×0.000518723514948638×40589641000000     		ar = 370791950.705271m²