Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1122 / 1122
↖ ↑ ↗
← S 16.972741°
E 17.226562°		 ← 18.695 km → S 16.972741°
E 17.402344°		 →
↑
18.686 km
↓
↑
18.686 km
↓
S 17.140790°
E 17.226562°		 ← 18.678 km →
349.177 km²		 S 17.140790°
E 17.402344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1122 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1122 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.548095703125 y=0.548095703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.548095703125 × 211)
    floor (0.548095703125 × 2048)
    floor (1122.5)     		tx = 1122
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.548095703125 × 211)
    floor (0.548095703125 × 2048)
    floor (1122.5)     		ty = 1122
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1122 / 1122 ti = "11/1122/1122"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1122/1122.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1122 ÷ 211
    1122 ÷ 2048     		x = 0.5478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1122 ÷ 211
    1122 ÷ 2048     		y = 0.5478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5478515625 × 2 - 1) × π
    0.095703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.30066023
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5478515625 × 2 - 1) × π
    -0.095703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.300660234416992
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30066023} λ = 0.30066023}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.300660234416992))-π/2
    2×atan(0.740329268425005)-π/2
    2×0.637283056457916-π/2
    1.27456611291583-1.57079632675     		φ = -0.29623021
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30066023} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.226562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.29623021 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -16.972741°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1122 KachelY 1122 0.30066023 -0.29623021 17.226562 -16.972741
    Oben rechts KachelX + 1 1123 KachelY 1122 0.30372820 -0.29623021 17.402344 -16.972741
    Unten links KachelX 1122 KachelY + 1 1123 0.30066023 -0.29916323 17.226562 -17.140790
    Unten rechts KachelX + 1 1123 KachelY + 1 1123 0.30372820 -0.29916323 17.402344 -17.140790
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.29623021--0.29916323) × R
    0.00293302000000001 × 6371000     		dl = 18686.2704200001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.29623021--0.29916323) × R
    0.00293302000000001 × 6371000     		dr = 18686.2704200001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30066023-0.30372820) × cos(-0.29623021) × R
    0.00306797000000003 × 0.956443747320158 × 6371000     		do = 18694.684749201m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30066023-0.30372820) × cos(-0.29916323) × R
    0.00306797000000003 × 0.955583437084419 × 6371000     		du = 18677.8690936136m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.29623021)-sin(-0.29916323))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.956443747320158-0.955583437084419)×R²
    abs(0.30372820-0.30066023)×0.000860310235739958×R²
    0.00306797000000003×0.000860310235739958×6371000²
    0.00306797000000003×0.000860310235739958×40589641000000     		ar = 349177074.015867m²