Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1152 / 1409
↖ ↑ ↗
← S 55.875311°
E 22.500000°		 ← 10.965 km → S 55.875311°
E 22.675781°		 →
↑
10.951 km
↓
↑
10.951 km
↓
S 55.973798°
E 22.500000°		 ← 10.937 km →
119.931 km²		 S 55.973798°
E 22.675781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1152 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1409 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562744140625 y=0.688232421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562744140625 × 211)
    floor (0.562744140625 × 2048)
    floor (1152.5)     		tx = 1152
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.688232421875 × 211)
    floor (0.688232421875 × 2048)
    floor (1409.5)     		ty = 1409
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1152 / 1409 ti = "11/1152/1409"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1152/1409.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1152 ÷ 211
    1152 ÷ 2048     		x = 0.5625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1409 ÷ 211
    1409 ÷ 2048     		y = 0.68798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5625 × 2 - 1) × π
    0.125 × 3.1415926535     		Λ = 0.39269908
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68798828125 × 2 - 1) × π
    -0.3759765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.18116520663818
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39269908} λ = 0.39269908}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.18116520663818))-π/2
    2×atan(0.306920903891316)-π/2
    2×0.297794091077831-π/2
    0.595588182155663-1.57079632675     		φ = -0.97520814
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39269908} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.500000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97520814 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.875311°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1152 KachelY 1409 0.39269908 -0.97520814 22.500000 -55.875311
    Oben rechts KachelX + 1 1153 KachelY 1409 0.39576704 -0.97520814 22.675781 -55.875311
    Unten links KachelX 1152 KachelY + 1 1410 0.39269908 -0.97692707 22.500000 -55.973798
    Unten rechts KachelX + 1 1153 KachelY + 1 1410 0.39576704 -0.97692707 22.675781 -55.973798
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97520814--0.97692707) × R
    0.00171893000000001 × 6371000     		dl = 10951.30303m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97520814--0.97692707) × R
    0.00171893000000001 × 6371000     		dr = 10951.30303m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39269908-0.39576704) × cos(-0.97520814) × R
    0.00306796000000004 × 0.560995763524048 × 6371000     		do = 10965.2081367149m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39269908-0.39576704) × cos(-0.97692707) × R
    0.00306796000000004 × 0.559571973082755 × 6371000     		du = 10937.3787669639m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97520814)-sin(-0.97692707))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.560995763524048-0.559571973082755)×R²
    abs(0.39576704-0.39269908)×0.00142379044129315×R²
    0.00306796000000004×0.00142379044129315×6371000²
    0.00306796000000004×0.00142379044129315×40589641000000     		ar = 119930962.691743m²