Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1154 / 1410
↖ ↑ ↗
← S 55.973798°
E 22.851562°		 ← 10.937 km → S 55.973798°
E 23.027344°		 →
↑
10.924 km
↓
↑
10.924 km
↓
S 56.072036°
E 22.851562°		 ← 10.910 km →
119.323 km²		 S 56.072036°
E 23.027344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1154 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1410 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.563720703125 y=0.688720703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.563720703125 × 211)
    floor (0.563720703125 × 2048)
    floor (1154.5)     		tx = 1154
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.688720703125 × 211)
    floor (0.688720703125 × 2048)
    floor (1410.5)     		ty = 1410
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1154 / 1410 ti = "11/1154/1410"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1154/1410.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1154 ÷ 211
    1154 ÷ 2048     		x = 0.5634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1410 ÷ 211
    1410 ÷ 2048     		y = 0.6884765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5634765625 × 2 - 1) × π
    0.126953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.39883500
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6884765625 × 2 - 1) × π
    -0.376953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.18423316821387
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39883500} λ = 0.39883500}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.18423316821387))-π/2
    2×atan(0.305980725304736)-π/2
    2×0.296934626644179-π/2
    0.593869253288358-1.57079632675     		φ = -0.97692707
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39883500} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.851562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97692707 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.973798°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1154 KachelY 1410 0.39883500 -0.97692707 22.851562 -55.973798
    Oben rechts KachelX + 1 1155 KachelY 1410 0.40190297 -0.97692707 23.027344 -55.973798
    Unten links KachelX 1154 KachelY + 1 1411 0.39883500 -0.97864164 22.851562 -56.072036
    Unten rechts KachelX + 1 1155 KachelY + 1 1411 0.40190297 -0.97864164 23.027344 -56.072036
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97692707--0.97864164) × R
    0.00171456999999997 × 6371000     		dl = 10923.5254699998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97692707--0.97864164) × R
    0.00171456999999997 × 6371000     		dr = 10923.5254699998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39883500-0.40190297) × cos(-0.97692707) × R
    0.00306797000000003 × 0.559571973082755 × 6371000     		do = 10937.4144172943m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39883500-0.40190297) × cos(-0.97864164) × R
    0.00306797000000003 × 0.558150146934739 × 6371000     		du = 10909.6233509824m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97692707)-sin(-0.97864164))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.559571973082755-0.558150146934739)×R²
    abs(0.40190297-0.39883500)×0.00142182614801634×R²
    0.00306797000000003×0.00142182614801634×6371000²
    0.00306797000000003×0.00142182614801634×40589641000000     		ar = 119323365.984651m²