Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1159 / 1161
↖ ↑ ↗
← S 23.402765°
E 23.730469°		 ← 17.938 km → S 23.402765°
E 23.906250°		 →
↑
17.927 km
↓
↑
17.927 km
↓
S 23.563987°
E 23.730469°		 ← 17.916 km →
321.381 km²		 S 23.563987°
E 23.906250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1159 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1161 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566162109375 y=0.567138671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566162109375 × 211)
    floor (0.566162109375 × 2048)
    floor (1159.5)     		tx = 1159
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.567138671875 × 211)
    floor (0.567138671875 × 2048)
    floor (1161.5)     		ty = 1161
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1159 / 1161 ti = "11/1159/1161"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1159/1161.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1159 ÷ 211
    1159 ÷ 2048     		x = 0.56591796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1161 ÷ 211
    1161 ÷ 2048     		y = 0.56689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56591796875 × 2 - 1) × π
    0.1318359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.41417481
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.56689453125 × 2 - 1) × π
    -0.1337890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.420310735868652
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41417481} λ = 0.41417481}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.420310735868652))-π/2
    2×atan(0.656842683518634)-π/2
    2×0.581170512568187-π/2
    1.16234102513637-1.57079632675     		φ = -0.40845530
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41417481} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.730469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.40845530 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.402765°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1159 KachelY 1161 0.41417481 -0.40845530 23.730469 -23.402765
    Oben rechts KachelX + 1 1160 KachelY 1161 0.41724277 -0.40845530 23.906250 -23.402765
    Unten links KachelX 1159 KachelY + 1 1162 0.41417481 -0.41126916 23.730469 -23.563987
    Unten rechts KachelX + 1 1160 KachelY + 1 1162 0.41724277 -0.41126916 23.906250 -23.563987
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.40845530--0.41126916) × R
    0.00281386 × 6371000     		dl = 17927.10206m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.40845530--0.41126916) × R
    0.00281386 × 6371000     		dr = 17927.10206m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41417481-0.41724277) × cos(-0.40845530) × R
    0.00306795999999998 × 0.917735460230772 × 6371000     		do = 17938.0326736508m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41417481-0.41724277) × cos(-0.41126916) × R
    0.00306795999999998 × 0.916614185303787 × 6371000     		du = 17916.116264023m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.40845530)-sin(-0.41126916))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.917735460230772-0.916614185303787)×R²
    abs(0.41724277-0.41417481)×0.00112127492698522×R²
    0.00306795999999998×0.00112127492698522×6371000²
    0.00306795999999998×0.00112127492698522×40589641000000     		ar = 321380705.692647m²