Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1164 / 1148
↖ ↑ ↗
← S 21.289374°
E 24.609375°		 ← 18.212 km → S 21.289374°
E 24.785156°		 →
↑
18.202 km
↓
↑
18.202 km
↓
S 21.453069°
E 24.609375°		 ← 18.192 km →
331.311 km²		 S 21.453069°
E 24.785156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1164 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1148 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568603515625 y=0.560791015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568603515625 × 211)
    floor (0.568603515625 × 2048)
    floor (1164.5)     		tx = 1164
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.560791015625 × 211)
    floor (0.560791015625 × 2048)
    floor (1148.5)     		ty = 1148
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1164 / 1148 ti = "11/1164/1148"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1164/1148.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1164 ÷ 211
    1164 ÷ 2048     		x = 0.568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1148 ÷ 211
    1148 ÷ 2048     		y = 0.560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568359375 × 2 - 1) × π
    0.13671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42951462
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.560546875 × 2 - 1) × π
    -0.12109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.380427235384766
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42951462} λ = 0.42951462}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.380427235384766))-π/2
    2×atan(0.683569301823814)-π/2
    2×0.599613324302808-π/2
    1.19922664860562-1.57079632675     		φ = -0.37156968
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42951462} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.609375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.37156968 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.289374°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1164 KachelY 1148 0.42951462 -0.37156968 24.609375 -21.289374
    Oben rechts KachelX + 1 1165 KachelY 1148 0.43258258 -0.37156968 24.785156 -21.289374
    Unten links KachelX 1164 KachelY + 1 1149 0.42951462 -0.37442668 24.609375 -21.453069
    Unten rechts KachelX + 1 1165 KachelY + 1 1149 0.43258258 -0.37442668 24.785156 -21.453069
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.37156968--0.37442668) × R
    0.002857 × 6371000     		dl = 18201.947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.37156968--0.37442668) × R
    0.002857 × 6371000     		dr = 18201.947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42951462-0.43258258) × cos(-0.37156968) × R
    0.00306795999999998 × 0.931758576749633 × 6371000     		do = 18212.128132748m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42951462-0.43258258) × cos(-0.37442668) × R
    0.00306795999999998 × 0.930717460340206 × 6371000     		du = 18191.7784993529m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.37156968)-sin(-0.37442668))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.931758576749633-0.930717460340206)×R²
    abs(0.43258258-0.42951462)×0.00104111640942661×R²
    0.00306795999999998×0.00104111640942661×6371000²
    0.00306795999999998×0.00104111640942661×40589641000000     		ar = 331311214.914497m²