Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 1186 / 1186
↖ ↑ ↗
← S 27.371767°
E 28.476563°		 ← 17.358 km → S 27.371767°
E 28.652344°		 →
↑
17.345 km
↓
↑
17.345 km
↓
S 27.527758°
E 28.476563°		 ← 17.333 km →
300.863 km²		 S 27.527758°
E 28.652344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1186 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1186 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579345703125 y=0.579345703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579345703125 × 211)
    floor (0.579345703125 × 2048)
    floor (1186.5)     		tx = 1186
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.579345703125 × 211)
    floor (0.579345703125 × 2048)
    floor (1186.5)     		ty = 1186
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1186 / 1186 ti = "11/1186/1186"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1186/1186.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1186 ÷ 211
    1186 ÷ 2048     		x = 0.5791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1186 ÷ 211
    1186 ÷ 2048     		y = 0.5791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5791015625 × 2 - 1) × π
    0.158203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.49700978
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5791015625 × 2 - 1) × π
    -0.158203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.497009775260742
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49700978} λ = 0.49700978}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.497009775260742))-π/2
    2×atan(0.608347037031202)-π/2
    2×0.546534432661832-π/2
    1.09306886532366-1.57079632675     		φ = -0.47772746
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49700978} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.476563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.47772746 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.371767°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1186 KachelY 1186 0.49700978 -0.47772746 28.476563 -27.371767
    Oben rechts KachelX + 1 1187 KachelY 1186 0.50007774 -0.47772746 28.652344 -27.371767
    Unten links KachelX 1186 KachelY + 1 1187 0.49700978 -0.48045002 28.476563 -27.527758
    Unten rechts KachelX + 1 1187 KachelY + 1 1187 0.50007774 -0.48045002 28.652344 -27.527758
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.47772746--0.48045002) × R
    0.00272255999999998 × 6371000     		dl = 17345.4297599999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.47772746--0.48045002) × R
    0.00272255999999998 × 6371000     		dr = 17345.4297599999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49700978-0.50007774) × cos(-0.47772746) × R
    0.00306796000000004 × 0.88804204310942 × 6371000     		do = 17357.6459395685m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49700978-0.50007774) × cos(-0.48045002) × R
    0.00306796000000004 × 0.886787023105504 × 6371000     		du = 17333.1153522567m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.47772746)-sin(-0.48045002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.88804204310942-0.886787023105504)×R²
    abs(0.50007774-0.49700978)×0.00125502000391586×R²
    0.00306796000000004×0.00125502000391586×6371000²
    0.00306796000000004×0.00125502000391586×40589641000000     		ar = 300863267.495719m²