Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 1216 / 1088
↖ ↑ ↗
← S 11.178402°
E 33.750000°		 ← 19.175 km → S 11.178402°
E 33.925781°		 →
↑
19.169 km
↓
↑
19.169 km
↓
S 11.350797°
E 33.750000°		 ← 19.164 km →
367.467 km²		 S 11.350797°
E 33.925781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1216 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1088 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593994140625 y=0.531494140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593994140625 × 211)
    floor (0.593994140625 × 2048)
    floor (1216.5)     		tx = 1216
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.531494140625 × 211)
    floor (0.531494140625 × 2048)
    floor (1088.5)     		ty = 1088
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1216 / 1088 ti = "11/1216/1088"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1216/1088.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1216 ÷ 211
    1216 ÷ 2048     		x = 0.59375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1088 ÷ 211
    1088 ÷ 2048     		y = 0.53125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59375 × 2 - 1) × π
    0.1875 × 3.1415926535     		Λ = 0.58904862
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.53125 × 2 - 1) × π
    -0.0625 × 3.1415926535     		Φ = -0.19634954084375
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58904862} λ = 0.58904862}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.19634954084375))-π/2
    2×atan(0.821724958038489)-π/2
    2×0.687848204496514-π/2
    1.37569640899303-1.57079632675     		φ = -0.19509992
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58904862} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.750000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19509992 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.178402°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1216 KachelY 1088 0.58904862 -0.19509992 33.750000 -11.178402
    Oben rechts KachelX + 1 1217 KachelY 1088 0.59211658 -0.19509992 33.925781 -11.178402
    Unten links KachelX 1216 KachelY + 1 1089 0.58904862 -0.19810878 33.750000 -11.350797
    Unten rechts KachelX + 1 1217 KachelY + 1 1089 0.59211658 -0.19810878 33.925781 -11.350797
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19509992--0.19810878) × R
    0.00300886 × 6371000     		dl = 19169.44706m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19509992--0.19810878) × R
    0.00300886 × 6371000     		dr = 19169.44706m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58904862-0.59211658) × cos(-0.19509992) × R
    0.00306795999999998 × 0.981028303500043 × 6371000     		do = 19175.1528894121m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58904862-0.59211658) × cos(-0.19810878) × R
    0.00306795999999998 × 0.980440552321094 × 6371000     		du = 19163.6647206436m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19509992)-sin(-0.19810878))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.981028303500043-0.980440552321094)×R²
    abs(0.59211658-0.58904862)×0.000587751178949047×R²
    0.00306795999999998×0.000587751178949047×6371000²
    0.00306795999999998×0.000587751178949047×40589641000000     		ar = 367467244.490237m²