Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 1216 / 961
↖ ↑ ↗
← N 11.005904°
E 33.750000°		 ← 19.186 km → N 11.005904°
E 33.925781°		 →
↑
19.192 km
↓
↑
19.192 km
↓
N 10.833306°
E 33.750000°		 ← 19.198 km →
368.335 km²		 N 10.833306°
E 33.925781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1216 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 961 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593994140625 y=0.469482421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593994140625 × 211)
    floor (0.593994140625 × 2048)
    floor (1216.5)     		tx = 1216
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.469482421875 × 211)
    floor (0.469482421875 × 2048)
    floor (961.5)     		ty = 961
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1216 / 961 ti = "11/1216/961"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1216/961.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1216 ÷ 211
    1216 ÷ 2048     		x = 0.59375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 961 ÷ 211
    961 ÷ 2048     		y = 0.46923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59375 × 2 - 1) × π
    0.1875 × 3.1415926535     		Λ = 0.58904862
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46923828125 × 2 - 1) × π
    0.0615234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.193281579268066
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58904862} λ = 0.58904862}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.193281579268066))-π/2
    2×atan(1.21322436425573)-π/2
    2×0.881442798385229-π/2
    1.76288559677046-1.57079632675     		φ = 0.19208927
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58904862} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.750000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.19208927 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.005904°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1216 KachelY 961 0.58904862 0.19208927 33.750000 11.005904
    Oben rechts KachelX + 1 1217 KachelY 961 0.59211658 0.19208927 33.925781 11.005904
    Unten links KachelX 1216 KachelY + 1 962 0.58904862 0.18907686 33.750000 10.833306
    Unten rechts KachelX + 1 1217 KachelY + 1 962 0.59211658 0.18907686 33.925781 10.833306
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.19208927-0.18907686) × R
    0.00301240999999999 × 6371000     		dl = 19192.06411m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.19208927-0.18907686) × R
    0.00301240999999999 × 6371000     		dr = 19192.06411m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58904862-0.59211658) × cos(0.19208927) × R
    0.00306795999999998 × 0.981607514933233 × 6371000     		do = 19186.4741405392m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58904862-0.59211658) × cos(0.18907686) × R
    0.00306795999999998 × 0.982178159866999 × 6371000     		du = 19197.6279510984m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.19208927)-sin(0.18907686))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.981607514933233-0.982178159866999)×R²
    abs(0.59211658-0.58904862)×0.00057064493376624×R²
    0.00306795999999998×0.00057064493376624×6371000²
    0.00306795999999998×0.00057064493376624×40589641000000     		ar = 368335352.615554m²