Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12160 / 12160
↖ ↑ ↗
← S 65.366837°
E 87.187500°		 ← 1 018.38 m → S 65.366837°
E 87.209473°		 →
↑
1 018.15 m
↓
↑
1 018.15 m
↓
S 65.375994°
E 87.187500°		 ← 1 018.02 m →
1 036 678 m²		 S 65.375994°
E 87.209473°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12160 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12160 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.742218017578125 y=0.742218017578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.742218017578125 × 214)
    floor (0.742218017578125 × 16384)
    floor (12160.5)     		tx = 12160
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742218017578125 × 214)
    floor (0.742218017578125 × 16384)
    floor (12160.5)     		ty = 12160
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12160 / 12160 ti = "14/12160/12160"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12160/12160.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12160 ÷ 214
    12160 ÷ 16384     		x = 0.7421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12160 ÷ 214
    12160 ÷ 16384     		y = 0.7421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7421875 × 2 - 1) × π
    0.484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.52170894
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7421875 × 2 - 1) × π
    -0.484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.52170894153906
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.52170894} λ = 1.52170894}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52170894153906))-π/2
    2×atan(0.218338440313639)-π/2
    2×0.214964900714467-π/2
    0.429929801428934-1.57079632675     		φ = -1.14086653
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.52170894} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 87.187500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14086653 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.366837°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12160 KachelY 12160 1.52170894 -1.14086653 87.187500 -65.366837
    Oben rechts KachelX + 1 12161 KachelY 12160 1.52209244 -1.14086653 87.209473 -65.366837
    Unten links KachelX 12160 KachelY + 1 12161 1.52170894 -1.14102634 87.187500 -65.375994
    Unten rechts KachelX + 1 12161 KachelY + 1 12161 1.52209244 -1.14102634 87.209473 -65.375994
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14086653--1.14102634) × R
    0.000159809999999982 × 6371000     		dl = 1018.14950999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14086653--1.14102634) × R
    0.000159809999999982 × 6371000     		dr = 1018.14950999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.52170894-1.52209244) × cos(-1.14086653) × R
    0.000383500000000092 × 0.416806989093035 × 6371000     		do = 1018.37555510099m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.52170894-1.52209244) × cos(-1.14102634) × R
    0.000383500000000092 × 0.416661717278144 × 6371000     		du = 1018.02061559901m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14086653)-sin(-1.14102634))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.416806989093035-0.416661717278144)×R²
    abs(1.52209244-1.52170894)×0.000145271814891434×R²
    0.000383500000000092×0.000145271814891434×6371000²
    0.000383500000000092×0.000145271814891434×40589641000000     		ar = 1036677.88388966m²