Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12272 / 12272
↖ ↑ ↗
← S 66.372755°
E 89.648437°		 ← 979.23 m → S 66.372755°
E 89.670410°		 →
↑
979.03 m
↓
↑
979.03 m
↓
S 66.381560°
E 89.648437°		 ← 978.88 m →
958 527 m²		 S 66.381560°
E 89.670410°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12272 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12272 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.749053955078125 y=0.749053955078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.749053955078125 × 214)
    floor (0.749053955078125 × 16384)
    floor (12272.5)     		tx = 12272
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749053955078125 × 214)
    floor (0.749053955078125 × 16384)
    floor (12272.5)     		ty = 12272
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12272 / 12272 ti = "14/12272/12272"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12272/12272.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12272 ÷ 214
    12272 ÷ 16384     		x = 0.7490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12272 ÷ 214
    12272 ÷ 16384     		y = 0.7490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7490234375 × 2 - 1) × π
    0.498046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.56466040
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7490234375 × 2 - 1) × π
    -0.498046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.56466040359863
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.56466040} λ = 1.56466040}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56466040359863))-π/2
    2×atan(0.209159030768103)-π/2
    2×0.206186609200051-π/2
    0.412373218400102-1.57079632675     		φ = -1.15842311
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.56466040} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.648437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15842311 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.372755°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12272 KachelY 12272 1.56466040 -1.15842311 89.648437 -66.372755
    Oben rechts KachelX + 1 12273 KachelY 12272 1.56504390 -1.15842311 89.670410 -66.372755
    Unten links KachelX 12272 KachelY + 1 12273 1.56466040 -1.15857678 89.648437 -66.381560
    Unten rechts KachelX + 1 12273 KachelY + 1 12273 1.56504390 -1.15857678 89.670410 -66.381560
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15842311--1.15857678) × R
    0.000153669999999995 × 6371000     		dl = 979.031569999966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15842311--1.15857678) × R
    0.000153669999999995 × 6371000     		dr = 979.031569999966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.56466040-1.56504390) × cos(-1.15842311) × R
    0.000383500000000092 × 0.400784729966169 × 6371000     		do = 979.228713854882m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.56466040-1.56504390) × cos(-1.15857678) × R
    0.000383500000000092 × 0.400643937044189 × 6371000     		du = 978.884717535655m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15842311)-sin(-1.15857678))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.400784729966169-0.400643937044189)×R²
    abs(1.56504390-1.56466040)×0.000140792921980215×R²
    0.000383500000000092×0.000140792921980215×6371000²
    0.000383500000000092×0.000140792921980215×40589641000000     		ar = 958527.435371613m²