Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12288 / 12289
↖ ↑ ↗
← S 66.522016°
E 90.000000°		 ← 973.37 m → S 66.522016°
E 90.021973°		 →
↑
973.23 m
↓
↑
973.23 m
↓
S 66.530768°
E 90.000000°		 ← 973.03 m →
947 149 m²		 S 66.530768°
E 90.021973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12288 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12289 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.750030517578125 y=0.750091552734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.750030517578125 × 214)
    floor (0.750030517578125 × 16384)
    floor (12288.5)     		tx = 12288
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750091552734375 × 214)
    floor (0.750091552734375 × 16384)
    floor (12289.5)     		ty = 12289
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12288 / 12289 ti = "14/12288/12289"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12288/12289.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12288 ÷ 214
    12288 ÷ 16384     		x = 0.75
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12289 ÷ 214
    12289 ÷ 16384     		y = 0.75006103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.75 × 2 - 1) × π
    0.5 × 3.1415926535     		Λ = 1.57079633
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75006103515625 × 2 - 1) × π
    -0.5001220703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.57117982194696
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57079633} λ = 1.57079633}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57117982194696))-π/2
    2×atan(0.207799870825336)-π/2
    2×0.204884062882552-π/2
    0.409768125765104-1.57079632675     		φ = -1.16102820
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57079633} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.000000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16102820 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.522016°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12288 KachelY 12289 1.57079633 -1.16102820 90.000000 -66.522016
    Oben rechts KachelX + 1 12289 KachelY 12289 1.57117982 -1.16102820 90.021973 -66.522016
    Unten links KachelX 12288 KachelY + 1 12290 1.57079633 -1.16118096 90.000000 -66.530768
    Unten rechts KachelX + 1 12289 KachelY + 1 12290 1.57117982 -1.16118096 90.021973 -66.530768
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16102820--1.16118096) × R
    0.000152759999999974 × 6371000     		dl = 973.233959999834m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16102820--1.16118096) × R
    0.000152759999999974 × 6371000     		dr = 973.233959999834m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57079633-1.57117982) × cos(-1.16102820) × R
    0.000383489999999931 × 0.398396661526023 × 6371000     		do = 973.368615726828m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57079633-1.57117982) × cos(-1.16118096) × R
    0.000383489999999931 × 0.398256543385904 × 6371000     		du = 973.026277014541m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16102820)-sin(-1.16118096))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.398396661526023-0.398256543385904)×R²
    abs(1.57117982-1.57079633)×0.000140118140119605×R²
    0.000383489999999931×0.000140118140119605×6371000²
    0.000383489999999931×0.000140118140119605×40589641000000     		ar = 947148.806434295m²