Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 12296 / 12295
↖ ↑ ↗
← S 66.574483°
E 90.175781°		 ← 971.32 m → S 66.574483°
E 90.197754°		 →
↑
971.20 m
↓
↑
971.20 m
↓
S 66.583217°
E 90.175781°		 ← 970.97 m →
943 172 m²		 S 66.583217°
E 90.197754°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12296 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12295 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.750518798828125 y=0.750457763671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.750518798828125 × 214)
    floor (0.750518798828125 × 16384)
    floor (12296.5)     		tx = 12296
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750457763671875 × 214)
    floor (0.750457763671875 × 16384)
    floor (12295.5)     		ty = 12295
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12296 / 12295 ti = "14/12296/12295"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12296/12295.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12296 ÷ 214
    12296 ÷ 16384     		x = 0.75048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12295 ÷ 214
    12295 ÷ 16384     		y = 0.75042724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.75048828125 × 2 - 1) × π
    0.5009765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.57386429
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75042724609375 × 2 - 1) × π
    -0.5008544921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.57348079312872
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57386429} λ = 1.57386429}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57348079312872))-π/2
    2×atan(0.207322278984241)-π/2
    2×0.20442619665817-π/2
    0.408852393316339-1.57079632675     		φ = -1.16194393
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57386429} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.175781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16194393 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.574483°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12296 KachelY 12295 1.57386429 -1.16194393 90.175781 -66.574483
    Oben rechts KachelX + 1 12297 KachelY 12295 1.57424778 -1.16194393 90.197754 -66.574483
    Unten links KachelX 12296 KachelY + 1 12296 1.57386429 -1.16209637 90.175781 -66.583217
    Unten rechts KachelX + 1 12297 KachelY + 1 12296 1.57424778 -1.16209637 90.197754 -66.583217
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16194393--1.16209637) × R
    0.00015243999999992 × 6371000     		dl = 971.195239999493m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16194393--1.16209637) × R
    0.00015243999999992 × 6371000     		dr = 971.195239999493m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57386429-1.57424778) × cos(-1.16194393) × R
    0.000383490000000153 × 0.39755657493687 × 6371000     		do = 971.316103747892m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57386429-1.57424778) × cos(-1.16209637) × R
    0.000383490000000153 × 0.39741669477909 × 6371000     		du = 970.974346477576m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16194393)-sin(-1.16209637))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.39755657493687-0.39741669477909)×R²
    abs(1.57424778-1.57386429)×0.000139880157779992×R²
    0.000383490000000153×0.000139880157779992×6371000²
    0.000383490000000153×0.000139880157779992×40589641000000     		ar = 943171.621804472m²