Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12312 / 12280
↖ ↑ ↗
← S 66.443106°
E 90.527344°		 ← 976.48 m → S 66.443106°
E 90.549317°		 →
↑
976.29 m
↓
↑
976.29 m
↓
S 66.451886°
E 90.527344°		 ← 976.14 m →
953 162 m²		 S 66.451886°
E 90.549317°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12312 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12280 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.751495361328125 y=0.749542236328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.751495361328125 × 214)
    floor (0.751495361328125 × 16384)
    floor (12312.5)     		tx = 12312
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749542236328125 × 214)
    floor (0.749542236328125 × 16384)
    floor (12280.5)     		ty = 12280
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12312 / 12280 ti = "14/12312/12280"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12312/12280.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12312 ÷ 214
    12312 ÷ 16384     		x = 0.75146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12280 ÷ 214
    12280 ÷ 16384     		y = 0.74951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.75146484375 × 2 - 1) × π
    0.5029296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.58000021
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74951171875 × 2 - 1) × π
    -0.4990234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.56772836517432
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.58000021} λ = 1.58000021}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56772836517432))-π/2
    2×atan(0.208518322235628)-π/2
    2×0.205572676496029-π/2
    0.411145352992059-1.57079632675     		φ = -1.15965097
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.58000021} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.527344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15965097 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.443106°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12312 KachelY 12280 1.58000021 -1.15965097 90.527344 -66.443106
    Oben rechts KachelX + 1 12313 KachelY 12280 1.58038371 -1.15965097 90.549317 -66.443106
    Unten links KachelX 12312 KachelY + 1 12281 1.58000021 -1.15980421 90.527344 -66.451886
    Unten rechts KachelX + 1 12313 KachelY + 1 12281 1.58038371 -1.15980421 90.549317 -66.451886
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15965097--1.15980421) × R
    0.000153239999999943 × 6371000     		dl = 976.29203999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15965097--1.15980421) × R
    0.000153239999999943 × 6371000     		dr = 976.29203999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.58000021-1.58038371) × cos(-1.15965097) × R
    0.000383500000000092 × 0.399659496864673 × 6371000     		do = 976.479456010507m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.58000021-1.58038371) × cos(-1.15980421) × R
    0.000383500000000092 × 0.399519022631707 × 6371000     		du = 976.136238337298m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15965097)-sin(-1.15980421))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.399659496864673-0.399519022631707)×R²
    abs(1.58038371-1.58000021)×0.000140474232965593×R²
    0.000383500000000092×0.000140474232965593×6371000²
    0.000383500000000092×0.000140474232965593×40589641000000     		ar = 953161.581649086m²