Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12356 / 12356
↖ ↑ ↗
← S 67.101655°
E 91.494141°		 ← 950.67 m → S 67.101655°
E 91.516114°		 →
↑
950.49 m
↓
↑
950.49 m
↓
S 67.110203°
E 91.494141°		 ← 950.34 m →
903 445 m²		 S 67.110203°
E 91.516114°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12356 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12356 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.754180908203125 y=0.754180908203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.754180908203125 × 214)
    floor (0.754180908203125 × 16384)
    floor (12356.5)     		tx = 12356
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754180908203125 × 214)
    floor (0.754180908203125 × 16384)
    floor (12356.5)     		ty = 12356
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12356 / 12356 ti = "14/12356/12356"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12356/12356.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12356 ÷ 214
    12356 ÷ 16384     		x = 0.754150390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12356 ÷ 214
    12356 ÷ 16384     		y = 0.754150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.754150390625 × 2 - 1) × π
    0.50830078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.59687400
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.754150390625 × 2 - 1) × π
    -0.50830078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.59687400014331
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.59687400} λ = 1.59687400}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59687400014331))-π/2
    2×atan(0.20252863396344)-π/2
    2×0.199825752130835-π/2
    0.39965150426167-1.57079632675     		φ = -1.17114482
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.59687400} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 91.494141°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17114482 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.101655°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12356 KachelY 12356 1.59687400 -1.17114482 91.494141 -67.101655
    Oben rechts KachelX + 1 12357 KachelY 12356 1.59725750 -1.17114482 91.516114 -67.101655
    Unten links KachelX 12356 KachelY + 1 12357 1.59687400 -1.17129401 91.494141 -67.110203
    Unten rechts KachelX + 1 12357 KachelY + 1 12357 1.59725750 -1.17129401 91.516114 -67.110203
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17114482--1.17129401) × R
    0.00014918999999991 × 6371000     		dl = 950.489489999428m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17114482--1.17129401) × R
    0.00014918999999991 × 6371000     		dr = 950.489489999428m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.59687400-1.59725750) × cos(-1.17114482) × R
    0.000383500000000092 × 0.389097335170307 × 6371000     		do = 950.673153429134m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.59687400-1.59725750) × cos(-1.17129401) × R
    0.000383500000000092 × 0.388959897512747 × 6371000     		du = 950.337354955327m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17114482)-sin(-1.17129401))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.389097335170307-0.388959897512747)×R²
    abs(1.59725750-1.59687400)×0.000137437657560191×R²
    0.000383500000000092×0.000137437657560191×6371000²
    0.000383500000000092×0.000137437657560191×40589641000000     		ar = 903445.255973296m²