Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 125 / 139
↖ ↑ ↗
← S 15.284185°
W  4.218750°		 ← 150.837 km → S 15.284185°
W  2.812500°		 →
↑
150.336 km
↓
↑
150.336 km
↓
S 16.636192°
W  4.218750°		 ← 149.823 km →
22 601.1 km²		 S 16.636192°
W  2.812500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 125 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 139 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.490234375 y=0.544921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.490234375 × 28)
    floor (0.490234375 × 256)
    floor (125.5)     		tx = 125
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.544921875 × 28)
    floor (0.544921875 × 256)
    floor (139.5)     		ty = 139
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 125 / 139 ti = "8/125/139"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/125/139.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 125 ÷ 28
    125 ÷ 256     		x = 0.48828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 139 ÷ 28
    139 ÷ 256     		y = 0.54296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48828125 × 2 - 1) × π
    -0.0234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.07363108
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.54296875 × 2 - 1) × π
    -0.0859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.269980618660156
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.07363108} λ = -0.07363108}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.269980618660156))-π/2
    2×atan(0.76339428979764)-π/2
    2×0.652018486538701-π/2
    1.3040369730774-1.57079632675     		φ = -0.26675935
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.07363108} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.218750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.26675935 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -15.284185°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 125 KachelY 139 -0.07363108 -0.26675935 -4.218750 -15.284185
    Oben rechts KachelX + 1 126 KachelY 139 -0.04908739 -0.26675935 -2.812500 -15.284185
    Unten links KachelX 125 KachelY + 1 140 -0.07363108 -0.29035632 -4.218750 -16.636192
    Unten rechts KachelX + 1 126 KachelY + 1 140 -0.04908739 -0.29035632 -2.812500 -16.636192
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.26675935--0.29035632) × R
    0.02359697 × 6371000     		dl = 150336.29587m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.26675935--0.29035632) × R
    0.02359697 × 6371000     		dr = 150336.29587m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.07363108--0.04908739) × cos(-0.26675935) × R
    0.02454369 × 0.964630217417108 × 6371000     		do = 150837.152168269m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.07363108--0.04908739) × cos(-0.29035632) × R
    0.02454369 × 0.958141924186794 × 6371000     		du = 149822.591712229m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.26675935)-sin(-0.29035632))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.964630217417108-0.958141924186794)×R²
    abs(-0.04908739--0.07363108)×0.00648829323031364×R²
    0.02454369×0.00648829323031364×6371000²
    0.02454369×0.00648829323031364×40589641000000     		ar = 22601084838.1829m²