Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12543 / 12543
↖ ↑ ↗
← S 68.648557°
E 95.603027°		 ← 889.57 m → S 68.648557°
E 95.625000°		 →
↑
889.39 m
↓
↑
889.39 m
↓
S 68.656555°
E 95.603027°		 ← 889.25 m →
791 033 m²		 S 68.656555°
E 95.625000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12543 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12543 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765594482421875 y=0.765594482421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765594482421875 × 214)
    floor (0.765594482421875 × 16384)
    floor (12543.5)     		tx = 12543
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.765594482421875 × 214)
    floor (0.765594482421875 × 16384)
    floor (12543.5)     		ty = 12543
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12543 / 12543 ti = "14/12543/12543"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12543/12543.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12543 ÷ 214
    12543 ÷ 16384     		x = 0.76556396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12543 ÷ 214
    12543 ÷ 16384     		y = 0.76556396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76556396484375 × 2 - 1) × π
    0.5311279296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.66858760
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76556396484375 × 2 - 1) × π
    -0.5311279296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.66858760197491
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66858760} λ = 1.66858760}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66858760197491))-π/2
    2×atan(0.188513133274954)-π/2
    2×0.18632649508463-π/2
    0.37265299016926-1.57079632675     		φ = -1.19814334
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66858760} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.603027°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19814334 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.648557°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12543 KachelY 12543 1.66858760 -1.19814334 95.603027 -68.648557
    Oben rechts KachelX + 1 12544 KachelY 12543 1.66897110 -1.19814334 95.625000 -68.648557
    Unten links KachelX 12543 KachelY + 1 12544 1.66858760 -1.19828294 95.603027 -68.656555
    Unten rechts KachelX + 1 12544 KachelY + 1 12544 1.66897110 -1.19828294 95.625000 -68.656555
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19814334--1.19828294) × R
    0.000139600000000017 × 6371000     		dl = 889.391600000111m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19814334--1.19828294) × R
    0.000139600000000017 × 6371000     		dr = 889.391600000111m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66858760-1.66897110) × cos(-1.19814334) × R
    0.000383500000000092 × 0.364087608614637 × 6371000     		do = 889.567426244772m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66858760-1.66897110) × cos(-1.19828294) × R
    0.000383500000000092 × 0.363957586554578 × 6371000     		du = 889.249746140903m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19814334)-sin(-1.19828294))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.364087608614637-0.363957586554578)×R²
    abs(1.66897110-1.66858760)×0.00013002206005952×R²
    0.000383500000000092×0.00013002206005952×6371000²
    0.000383500000000092×0.00013002206005952×40589641000000     		ar = 791032.526812961m²