Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12544 / 12545
↖ ↑ ↗
← S 68.664551°
E 95.625000°		 ← 888.91 m → S 68.664551°
E 95.646973°		 →
↑
888.75 m
↓
↑
888.75 m
↓
S 68.672544°
E 95.625000°		 ← 888.59 m →
789 881 m²		 S 68.672544°
E 95.646973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12544 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12545 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765655517578125 y=0.765716552734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765655517578125 × 214)
    floor (0.765655517578125 × 16384)
    floor (12544.5)     		tx = 12544
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.765716552734375 × 214)
    floor (0.765716552734375 × 16384)
    floor (12545.5)     		ty = 12545
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12544 / 12545 ti = "14/12544/12545"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12544/12545.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12544 ÷ 214
    12544 ÷ 16384     		x = 0.765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12545 ÷ 214
    12545 ÷ 16384     		y = 0.76568603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765625 × 2 - 1) × π
    0.53125 × 3.1415926535     		Λ = 1.66897110
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76568603515625 × 2 - 1) × π
    -0.5313720703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.66935459236884
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66897110} λ = 1.66897110}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66935459236884))-π/2
    2×atan(0.188368600947143)-π/2
    2×0.186186919094897-π/2
    0.372373838189793-1.57079632675     		φ = -1.19842249
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66897110} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.625000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19842249 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.664551°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12544 KachelY 12545 1.66897110 -1.19842249 95.625000 -68.664551
    Oben rechts KachelX + 1 12545 KachelY 12545 1.66935459 -1.19842249 95.646973 -68.664551
    Unten links KachelX 12544 KachelY + 1 12546 1.66897110 -1.19856199 95.625000 -68.672544
    Unten rechts KachelX + 1 12545 KachelY + 1 12546 1.66935459 -1.19856199 95.646973 -68.672544
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19842249--1.19856199) × R
    0.000139499999999959 × 6371000     		dl = 888.754499999739m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19842249--1.19856199) × R
    0.000139499999999959 × 6371000     		dr = 888.754499999739m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66897110-1.66935459) × cos(-1.19842249) × R
    0.000383489999999931 × 0.36382760397497 × 6371000     		do = 888.908983041749m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66897110-1.66935459) × cos(-1.19856199) × R
    0.000383489999999931 × 0.363697660885963 × 6371000     		du = 888.591504164829m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19842249)-sin(-1.19856199))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.36382760397497-0.363697660885963)×R²
    abs(1.66935459-1.66897110)×0.000129943089007045×R²
    0.000383489999999931×0.000129943089007045×6371000²
    0.000383489999999931×0.000129943089007045×40589641000000     		ar = 789880.779660145m²