Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12544 / 13056
↖ ↑ ↗
← S 72.395706°
E 95.625000°		 ← 738.93 m → S 72.395706°
E 95.646973°		 →
↑
738.78 m
↓
↑
738.78 m
↓
S 72.402350°
E 95.625000°		 ← 738.66 m →
545 807 m²		 S 72.402350°
E 95.646973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12544 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13056 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765655517578125 y=0.796905517578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765655517578125 × 214)
    floor (0.765655517578125 × 16384)
    floor (12544.5)     		tx = 12544
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.796905517578125 × 214)
    floor (0.796905517578125 × 16384)
    floor (13056.5)     		ty = 13056
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12544 / 13056 ti = "14/12544/13056"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12544/13056.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12544 ÷ 214
    12544 ÷ 16384     		x = 0.765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13056 ÷ 214
    13056 ÷ 16384     		y = 0.796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765625 × 2 - 1) × π
    0.53125 × 3.1415926535     		Λ = 1.66897110
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.796875 × 2 - 1) × π
    -0.59375 × 3.1415926535     		Φ = -1.86532063801563
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66897110} λ = 1.66897110}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.86532063801563))-π/2
    2×atan(0.154846552233033)-π/2
    2×0.15362644896359-π/2
    0.30725289792718-1.57079632675     		φ = -1.26354343
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66897110} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.625000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26354343 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.395706°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12544 KachelY 13056 1.66897110 -1.26354343 95.625000 -72.395706
    Oben rechts KachelX + 1 12545 KachelY 13056 1.66935459 -1.26354343 95.646973 -72.395706
    Unten links KachelX 12544 KachelY + 1 13057 1.66897110 -1.26365939 95.625000 -72.402350
    Unten rechts KachelX + 1 12545 KachelY + 1 13057 1.66935459 -1.26365939 95.646973 -72.402350
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26354343--1.26365939) × R
    0.000115960000000026 × 6371000     		dl = 738.781160000166m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26354343--1.26365939) × R
    0.000115960000000026 × 6371000     		dr = 738.781160000166m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66897110-1.66935459) × cos(-1.26354343) × R
    0.000383489999999931 × 0.302441330058417 × 6371000     		do = 738.929130705863m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66897110-1.66935459) × cos(-1.26365939) × R
    0.000383489999999931 × 0.302330798663619 × 6371000     		du = 738.659078767333m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26354343)-sin(-1.26365939))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.302441330058417-0.302330798663619)×R²
    abs(1.66935459-1.66897110)×0.000110531394798108×R²
    0.000383489999999931×0.000110531394798108×6371000²
    0.000383489999999931×0.000110531394798108×40589641000000     		ar = 545807.166311565m²