Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12552 / 12552
↖ ↑ ↗
← S 68.720440°
E 95.800781°		 ← 886.69 m → S 68.720440°
E 95.822754°		 →
↑
886.52 m
↓
↑
886.52 m
↓
S 68.728413°
E 95.800781°		 ← 886.37 m →
785 931 m²		 S 68.728413°
E 95.822754°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12552 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12552 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766143798828125 y=0.766143798828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766143798828125 × 214)
    floor (0.766143798828125 × 16384)
    floor (12552.5)     		tx = 12552
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766143798828125 × 214)
    floor (0.766143798828125 × 16384)
    floor (12552.5)     		ty = 12552
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12552 / 12552 ti = "14/12552/12552"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12552/12552.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12552 ÷ 214
    12552 ÷ 16384     		x = 0.76611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12552 ÷ 214
    12552 ÷ 16384     		y = 0.76611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76611328125 × 2 - 1) × π
    0.5322265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.67203906
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76611328125 × 2 - 1) × π
    -0.5322265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.67203905874756
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67203906} λ = 1.67203906}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67203905874756))-π/2
    2×atan(0.187863609890113)-π/2
    2×0.185699187723214-π/2
    0.371398375446427-1.57079632675     		φ = -1.19939795
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67203906} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.800781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19939795 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.720440°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12552 KachelY 12552 1.67203906 -1.19939795 95.800781 -68.720440
    Oben rechts KachelX + 1 12553 KachelY 12552 1.67242255 -1.19939795 95.822754 -68.720440
    Unten links KachelX 12552 KachelY + 1 12553 1.67203906 -1.19953710 95.800781 -68.728413
    Unten rechts KachelX + 1 12553 KachelY + 1 12553 1.67242255 -1.19953710 95.822754 -68.728413
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19939795--1.19953710) × R
    0.000139149999999866 × 6371000     		dl = 886.524649999145m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19939795--1.19953710) × R
    0.000139149999999866 × 6371000     		dr = 886.524649999145m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67203906-1.67242255) × cos(-1.19939795) × R
    0.000383490000000153 × 0.362918822903626 × 6371000     		do = 886.688635687884m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67203906-1.67242255) × cos(-1.19953710) × R
    0.000383490000000153 × 0.362789156531801 × 6371000     		du = 886.371832890475m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19939795)-sin(-1.19953710))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.362918822903626-0.362789156531801)×R²
    abs(1.67242255-1.67203906)×0.000129666371825043×R²
    0.000383490000000153×0.000129666371825043×6371000²
    0.000383490000000153×0.000129666371825043×40589641000000     		ar = 785930.906933971m²