Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 128 / 127
↖ ↑ ↗
← N  1.406109°
E  0.000000°		 ← 156.321 km → N  1.406109°
E  1.406250°		 →
↑
156.352 km
↓
↑
156.352 km
↓
N  0.000000°
E  0.000000°		 ← 156.368 km →
24 446 km²		 N  0.000000°
E  1.406250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 128 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 127 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501953125 y=0.498046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501953125 × 28)
    floor (0.501953125 × 256)
    floor (128.5)     		tx = 128
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.498046875 × 28)
    floor (0.498046875 × 256)
    floor (127.5)     		ty = 127
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 128 / 127 ti = "8/128/127"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/128/127.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 128 ÷ 28
    128 ÷ 256     		x = 0.5
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 127 ÷ 28
    127 ÷ 256     		y = 0.49609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5 × 2 - 1) × π
    0 × 3.1415926535     		Λ = 0.00000000
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.49609375 × 2 - 1) × π
    0.0078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.0245436926054688
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00000000} λ = 0.00000000}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0245436926054688))-π/2
    2×atan(1.02484736838071)-π/2
    2×0.797668777806961-π/2
    1.59533755561392-1.57079632675     		φ = 0.02454123
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00000000} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.000000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.02454123 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 1.406109°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 128 KachelY 127 0.00000000 0.02454123 0.000000 1.406109
    Oben rechts KachelX + 1 129 KachelY 127 0.02454369 0.02454123 1.406250 1.406109
    Unten links KachelX 128 KachelY + 1 128 0.00000000 0.00000000 0.000000 0.000000
    Unten rechts KachelX + 1 129 KachelY + 1 128 0.02454369 0.00000000 1.406250 0.000000
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.02454123-0.00000000) × R
    0.02454123 × 6371000     		dl = 156352.17633m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.02454123-0.00000000) × R
    0.02454123 × 6371000     		dr = 156352.17633m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00000000-0.02454369) × cos(0.02454123) × R
    0.02454369 × 0.999698879128554 × 6371000     		do = 156320.763367046m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00000000-0.02454369) × cos(0.00000000) × R
    0.02454369 × 1 × 6371000     		du = 156367.84899m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.02454123)-sin(0.00000000))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999698879128554-1)×R²
    abs(0.02454369-0.00000000)×0.000301120871446292×R²
    0.02454369×0.000301120871446292×6371000²
    0.02454369×0.000301120871446292×40589641000000     		ar = 24445999468.4866m²