Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12801 / 12801
↖ ↑ ↗
← S 70.619907°
E101.271972°		 ← 810.76 m → S 70.619907°
E101.293945°		 →
↑
810.58 m
↓
↑
810.58 m
↓
S 70.627196°
E101.271972°		 ← 810.47 m →
657 070 m²		 S 70.627196°
E101.293945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12801 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12801 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.781341552734375 y=0.781341552734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.781341552734375 × 214)
    floor (0.781341552734375 × 16384)
    floor (12801.5)     		tx = 12801
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781341552734375 × 214)
    floor (0.781341552734375 × 16384)
    floor (12801.5)     		ty = 12801
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12801 / 12801 ti = "14/12801/12801"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12801/12801.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12801 ÷ 214
    12801 ÷ 16384     		x = 0.78131103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12801 ÷ 214
    12801 ÷ 16384     		y = 0.78131103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78131103515625 × 2 - 1) × π
    0.5626220703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.76752936
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78131103515625 × 2 - 1) × π
    -0.5626220703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.76752936279071
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76752936} λ = 1.76752936}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76752936279071))-π/2
    2×atan(0.170754340134353)-π/2
    2×0.169123217690968-π/2
    0.338246435381935-1.57079632675     		φ = -1.23254989
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76752936} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.271972°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23254989 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.619907°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12801 KachelY 12801 1.76752936 -1.23254989 101.271972 -70.619907
    Oben rechts KachelX + 1 12802 KachelY 12801 1.76791286 -1.23254989 101.293945 -70.619907
    Unten links KachelX 12801 KachelY + 1 12802 1.76752936 -1.23267712 101.271972 -70.627196
    Unten rechts KachelX + 1 12802 KachelY + 1 12802 1.76791286 -1.23267712 101.293945 -70.627196
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23254989--1.23267712) × R
    0.000127229999999923 × 6371000     		dl = 810.582329999507m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23254989--1.23267712) × R
    0.000127229999999923 × 6371000     		dr = 810.582329999507m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76752936-1.76791286) × cos(-1.23254989) × R
    0.000383500000000092 × 0.331833400361564 × 6371000     		do = 810.761412685496m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76752936-1.76791286) × cos(-1.23267712) × R
    0.000383500000000092 × 0.331713376781556 × 6371000     		du = 810.468161652969m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23254989)-sin(-1.23267712))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.331833400361564-0.331713376781556)×R²
    abs(1.76791286-1.76752936)×0.000120023580008233×R²
    0.000383500000000092×0.000120023580008233×6371000²
    0.000383500000000092×0.000120023580008233×40589641000000     		ar = 657070.023802036m²