Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12808 / 12808
↖ ↑ ↗
← S 70.670881°
E101.425781°		 ← 808.69 m → S 70.670881°
E101.447754°		 →
↑
808.54 m
↓
↑
808.54 m
↓
S 70.678152°
E101.425781°		 ← 808.40 m →
653 742 m²		 S 70.678152°
E101.447754°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12808 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12808 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.781768798828125 y=0.781768798828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.781768798828125 × 214)
    floor (0.781768798828125 × 16384)
    floor (12808.5)     		tx = 12808
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781768798828125 × 214)
    floor (0.781768798828125 × 16384)
    floor (12808.5)     		ty = 12808
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12808 / 12808 ti = "14/12808/12808"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12808/12808.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12808 ÷ 214
    12808 ÷ 16384     		x = 0.78173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12808 ÷ 214
    12808 ÷ 16384     		y = 0.78173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78173828125 × 2 - 1) × π
    0.5634765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.77021383
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78173828125 × 2 - 1) × π
    -0.5634765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.77021382916943
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77021383} λ = 1.77021383}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77021382916943))-π/2
    2×atan(0.170296570557664)-π/2
    2×0.16867838342603-π/2
    0.337356766852061-1.57079632675     		φ = -1.23343956
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77021383} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.425781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23343956 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.670881°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12808 KachelY 12808 1.77021383 -1.23343956 101.425781 -70.670881
    Oben rechts KachelX + 1 12809 KachelY 12808 1.77059732 -1.23343956 101.447754 -70.670881
    Unten links KachelX 12808 KachelY + 1 12809 1.77021383 -1.23356647 101.425781 -70.678152
    Unten rechts KachelX + 1 12809 KachelY + 1 12809 1.77059732 -1.23356647 101.447754 -70.678152
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23343956--1.23356647) × R
    0.000126909999999869 × 6371000     		dl = 808.543609999166m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23343956--1.23356647) × R
    0.000126909999999869 × 6371000     		dr = 808.543609999166m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77021383-1.77059732) × cos(-1.23343956) × R
    0.000383489999999931 × 0.330994009622915 × 6371000     		do = 808.689459711963m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77021383-1.77059732) × cos(-1.23356647) × R
    0.000383489999999931 × 0.330874250512052 × 6371000     		du = 808.396862481065m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23343956)-sin(-1.23356647))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.330994009622915-0.330874250512052)×R²
    abs(1.77059732-1.77021383)×0.00011975911086326×R²
    0.000383489999999931×0.00011975911086326×6371000²
    0.000383489999999931×0.00011975911086326×40589641000000     		ar = 653742.407189998m²