Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 131 / 125
↖ ↑ ↗
← N  4.214943°
E  4.218750°		 ← 155.945 km → N  4.214943°
E  5.625000°		 →
↑
156.070 km
↓
↑
156.070 km
↓
N  2.811371°
E  4.218750°		 ← 156.180 km →
24 357.9 km²		 N  2.811371°
E  5.625000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 131 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 125 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.513671875 y=0.490234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.513671875 × 28)
    floor (0.513671875 × 256)
    floor (131.5)     		tx = 131
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.490234375 × 28)
    floor (0.490234375 × 256)
    floor (125.5)     		ty = 125
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 131 / 125 ti = "8/131/125"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/131/125.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 131 ÷ 28
    131 ÷ 256     		x = 0.51171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 125 ÷ 28
    125 ÷ 256     		y = 0.48828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51171875 × 2 - 1) × π
    0.0234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.07363108
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.48828125 × 2 - 1) × π
    0.0234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.0736310778164063
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07363108} λ = 0.07363108}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0736310778164063))-π/2
    2×atan(1.07640962084785)-π/2
    2×0.822180481197209-π/2
    1.64436096239442-1.57079632675     		φ = 0.07356464
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07363108} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.218750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.07356464 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 4.214943°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 131 KachelY 125 0.07363108 0.07356464 4.218750 4.214943
    Oben rechts KachelX + 1 132 KachelY 125 0.09817477 0.07356464 5.625000 4.214943
    Unten links KachelX 131 KachelY + 1 126 0.07363108 0.04906768 4.218750 2.811371
    Unten rechts KachelX + 1 132 KachelY + 1 126 0.09817477 0.04906768 5.625000 2.811371
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.07356464-0.04906768) × R
    0.02449696 × 6371000     		dl = 156070.13216m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.07356464-0.04906768) × R
    0.02449696 × 6371000     		dr = 156070.13216m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07363108-0.09817477) × cos(0.07356464) × R
    0.02454369 × 0.9972953419468 × 6371000     		do = 155944.927427968m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07363108-0.09817477) × cos(0.04906768) × R
    0.02454369 × 0.9987964229002 × 6371000     		du = 156179.648227811m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.07356464)-sin(0.04906768))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.9972953419468-0.9987964229002)×R²
    abs(0.09817477-0.07363108)×0.00150108095340029×R²
    0.02454369×0.00150108095340029×6371000²
    0.02454369×0.00150108095340029×40589641000000     		ar = 24357879997.7858m²